Математический анализ Примеры

$(L + m) (V + n) = k$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d V} ((L + m) (V + n)) = \frac{d}{d V} (k)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ имеет вид $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ , где $f (V) = L + m$ и $g (V) = V + n$ .

$(L + m) \frac{d}{d V} [V + n] + (V + n) \frac{d}{d V} [L + m]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $V + n$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [n]$ .

$(L + m) (\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [n]) + (V + n) \frac{d}{d V} [L + m]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(L + m) (1 + \frac{d}{d V} [n]) + (V + n) \frac{d}{d V} [L + m]$

Этап 2.2.3

Поскольку $n$ является константой относительно $V$ , производная $n$ относительно $V$ равна $0$ .

$(L + m) (1 + 0) + (V + n) \frac{d}{d V} [L + m]$

Этап 2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(L + m) \cdot 1 + (V + n) \frac{d}{d V} [L + m]$

Этап 2.2.4.2

Умножим $L + m$ на $1$ .

$L + m + (V + n) \frac{d}{d V} [L + m]$

Этап 2.2.5

По правилу суммы производная $L + m$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [L] + \frac{d}{d V} [m]$ .

$L + m + (V + n) (\frac{d}{d V} [L] + \frac{d}{d V} [m])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d V} [L]$ в виде $L'$ .

$L + m + (V + n) (L' + \frac{d}{d V} [m])$

Этап 2.4

Поскольку $m$ является константой относительно $V$ , производная $m$ относительно $V$ равна $0$ .

$L + m + (V + n) (L' + 0)$

Этап 2.5

Добавим $L'$ и $0$ .

$L + m + (V + n) L'$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$L + m + V L' + n L'$

Этап 2.6.2

Изменим порядок членов.

$L + V L' + n L' + m$

Этап 3

Поскольку $k$ является константой относительно $V$ , производная $k$ относительно $V$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$L + V L' + n L' + m = 0$

Этап 5

Решим относительно $L'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $L'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $L$ из обеих частей уравнения.

$V L' + n L' + m = - L$

Этап 5.1.2

Вычтем $m$ из обеих частей уравнения.

$V L' + n L' = - L - m$

Этап 5.2

Вынесем множитель $L'$ из $V L' + n L'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $L'$ из $V L'$ .

$L' V + n L' = - L - m$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $L'$ из $n L'$ .

$L' V + L' n = - L - m$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $L'$ из $L' V + L' n$ .

$L' (V + n) = - L - m$

Этап 5.3

Разделим каждый член $L' (V + n) = - L - m$ на $V + n$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $L' (V + n) = - L - m$ на $V + n$ .

$\frac{L' (V + n)}{V + n} = \frac{- L}{V + n} + \frac{- m}{V + n}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $V + n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{L' (V + n)}{V + n} = \frac{- L}{V + n} + \frac{- m}{V + n}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $L'$ на $1$ .

$L' = \frac{- L}{V + n} + \frac{- m}{V + n}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$L' = - \frac{L}{V + n} + \frac{- m}{V + n}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$L' = - \frac{L}{V + n} - \frac{m}{V + n}$

Этап 5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$L' = \frac{- L - m}{V + n}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- L$ .

$L' = \frac{- (L) - m}{V + n}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- m$ .

$L' = \frac{- (L) - (m)}{V + n}$

Этап 5.3.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (L) - (m)$ .

$L' = \frac{- (L + m)}{V + n}$

Этап 5.3.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.5.1

Перепишем $- (L + m)$ в виде $- 1 (L + m)$ .

$L' = \frac{- 1 (L + m)}{V + n}$

Этап 5.3.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$L' = - \frac{L + m}{V + n}$

Этап 6

Заменим $L'$ на $\frac{d L}{d V}$ .

$\frac{d L}{d V} = - \frac{L + m}{V + n}$