Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x)}{5 x^{3}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \tan (x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Этап 1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{2 \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2 \tan (0)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Этап 1.2.3.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.3.1.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0^{3}}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0}$

Этап 1.3.3.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x)}{5 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \tan (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Этап 3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Этап 3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{5 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{5 (3 x^{2})}$

Этап 3.6

Умножим $3$ на $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{15 x^{2}}$

Этап 4

Так как числитель положителен, а знаменатель $15 x^{2}$ стремится к нулю и больше нуля для $x$ около $0$ и справа, и слева, функция неограниченно растет.

$\infty$