Математический анализ Примеры

$y = \sec^{2} (x)$ , $0 \leq x \leq \frac{π}{6}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\sec^{2} (x) = 0$

Этап 1.2

Решим $\sec^{2} (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sec (x) = \pm 0$

Этап 1.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$\sec (x) = 0$

Этап 1.2.3

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x - \int_{0}^{\frac{π}{6}} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $\frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $\sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

Этап 3.3

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Этап 3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем значение $\tan (x)$ в $\frac{π}{6}$ и в $0$ .

$\tan (\frac{π}{6}) - \tan (0)$

Этап 3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (0)$

Этап 3.4.2.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} - 0$

Этап 3.4.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + 0$

Этап 3.4.2.4

Добавим $\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$0.57735026 \dots$

Этап 5