Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Этап 1.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.8

Объединим $2$ и $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 1.9

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.10

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 1.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Этап 1.11.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.11.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Этап 1.11.4

Разделим $3 x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 2.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.9

Объединим $3$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$