Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем $3$ влево от $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} - 9) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (- 9 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (- 9 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (- 9 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (- 9 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.2

Умножим $3$ на $- 9$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} - 27 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.2

Вычтем $2 x^{4}$ из $3 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 27 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 27 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.5.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.6.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

Этап 1.1.6.5.3

Применим правило умножения к $(x + 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} (x^{2} - 27) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 27 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.3.2.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.3.2.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.3

Приравняем $x^{2} - 27$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x^{2} - 27$ к $0$ .

$x^{2} - 27 = 0$

Этап 2.3.3.2

Решим $x^{2} - 27 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Добавим $27$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 27$

Этап 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{27}$

Этап 2.3.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{27}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \pm \sqrt{9 (3)}$

Этап 2.3.3.2.3.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Этап 2.3.3.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 3 \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (x^{2} - 27) = 0$ верно.

$x = 0, 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$ .

$0, 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2.2

Решим ${(x + 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.2.2.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.2.3

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 4.2.3.2

Решим ${(x - 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.2.3.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 3, 3$

Этап 4.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 3 \sqrt{3}) \cup (- 3 \sqrt{3}, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 3 \sqrt{3}) \cup (3 \sqrt{3}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6.196152$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{{(- 6.196152)}^{2} ({(- 6.196152)}^{2} - 27)}{{((- 6.196152) + 3)}^{2} {((- 6.196152) - 3)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 6.196152$ в степень $2$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{{(- 6.196152)}^{2} (38.3922996 - 27)}{{(- 6.196152 + 3)}^{2} {(- 6.196152 - 3)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $27$ из $38.3922996$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{{(- 6.196152)}^{2} \cdot 11.3922996}{{(- 6.196152 + 3)}^{2} {(- 6.196152 - 3)}^{2}}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 6.196152$ в степень $2$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{(- 6.196152 + 3)}^{2} {(- 6.196152 - 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- 6.196152$ и $3$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{(- 3.196152)}^{2} {(- 6.196152 - 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $3$ из $- 6.196152$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{(- 3.196152)}^{2} {(- 9.196152)}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $- 3.196152$ в степень $2$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{10.2153876 {(- 9.196152)}^{2}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $- 9.196152$ в степень $2$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{10.2153876 \cdot 84.5692116}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $38.3922996$ на $11.3922996$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{437.37657972}{10.2153876 \cdot 84.5692116}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $10.2153876$ на $84.5692116$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{437.37657972}{863.90727619}$

Этап 6.2.3.3

Разделим $437.37657972$ на $863.90727619$ .

$f' (- 6.196152) = 0.50627722$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $0.50627722$ .

$0.50627722$

Этап 6.3

При $x = - 6.196152$ производная имеет вид $0.50627722$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 5.196152, - 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4.098076$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{{(- 4.098076)}^{2} ({(- 4.098076)}^{2} - 27)}{{((- 4.098076) + 3)}^{2} {((- 4.098076) - 3)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 4.098076$ в степень $2$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{{(- 4.098076)}^{2} (16.7942269 - 27)}{{(- 4.098076 + 3)}^{2} {(- 4.098076 - 3)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $27$ из $16.7942269$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{{(- 4.098076)}^{2} \cdot - 10.20577309}{{(- 4.098076 + 3)}^{2} {(- 4.098076 - 3)}^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $- 4.098076$ в степень $2$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{(- 4.098076 + 3)}^{2} {(- 4.098076 - 3)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $- 4.098076$ и $3$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{(- 1.098076)}^{2} {(- 4.098076 - 3)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $3$ из $- 4.098076$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{(- 1.098076)}^{2} {(- 7.098076)}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $- 1.098076$ в степень $2$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{1.2057709 {(- 7.098076)}^{2}}$

Этап 7.2.2.4

Возведем $- 7.098076$ в степень $2$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{1.2057709 \cdot 50.3826829}$

Этап 7.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $16.7942269$ на $- 10.20577309$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{- 171.39806911}{1.2057709 \cdot 50.3826829}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $1.2057709$ на $50.3826829$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{- 171.39806911}{60.74997299}$

Этап 7.2.3.3

Разделим $- 171.39806911$ на $60.74997299$ .

$f' (- 4.098076) = - 2.82136864$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- 2.82136864$ .

$- 2.82136864$

Этап 7.3

При $x = - 4.098076$ производная имеет вид $- 2.82136864$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 5.196152, - 3)$ .

Убывание на $(- 3 \sqrt{3}, - 3)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(- 3, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- \frac{3}{2})}^{2} ({(- \frac{3}{2})}^{2} - 27)}{{((- \frac{3}{2}) + 3)}^{2} {((- \frac{3}{2}) - 3)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} ({(- \frac{3}{2})}^{2} - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.4

Умножим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}} - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9}{2^{2}} - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9}{4} - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.7

Чтобы записать $- 27$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9}{4} - 27 \cdot \frac{4}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8

Объединим $- 27$ и $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9}{4} + \frac{- 27 \cdot 4}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9 - 27 \cdot 4}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.10.1

Умножим $- 27$ на $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9 - 108}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.10.2

Вычтем $108$ из $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{- 99}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} \cdot (- 1 (\frac{99}{4}))}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.12

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.12.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{99}{4}))}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.12.2

Объединим $\frac{99}{4}$ и ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{99 {(- 1)}^{2}}{4} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.12.3

Объединим $\frac{99 {(- 1)}^{2}}{4}$ и ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{99 {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.13.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{99 {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.13.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.13.2.1

Объединим $99$ и $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{{(- 1)}^{2} (\frac{99 \cdot 3^{2}}{2^{2}})}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.13.2.2

Объединим ${(- 1)}^{2}$ и $\frac{99 \cdot 3^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{{(- 1)}^{2} (99 \cdot 3^{2})}{2^{2}}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.13.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{1 \cdot 99 \cdot 3^{2}}{2^{2}}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.13.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{1 \cdot 99 \cdot 9}{2^{2}}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.13.3.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.13.3.3.1

Умножим $99$ на $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{99 \cdot 9}{2^{2}}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.13.3.3.2

Умножим $99$ на $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{891}{2^{2}}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.13.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{891}{4}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.14

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{891}{4} \cdot \frac{1}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.15

Умножим $\frac{891}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.15.1

Умножим $\frac{891}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{4 \cdot 4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.1.15.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(- \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(- \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{- 3 + 6}{2})}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.2.4.2

Добавим $- 3$ и $6$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.2.5

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.2.6

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.7

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 3 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.9.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 3 - 6}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.9.2

Вычтем $6$ из $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 9}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.11

Применим правило умножения к $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2})}$

Этап 8.2.2.12

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.12.1

Объединим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ и ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{9}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.12.2

Объединим $\frac{3^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ и ${(\frac{9}{2})}^{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.13.1

Применим правило умножения к $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.13.2.1

Объединим $3^{2}$ и $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} \cdot 9^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} \cdot {(3^{2})}^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.2.3

Перемножим экспоненты в ${(3^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.13.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} \cdot 3^{2 \cdot 2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} \cdot 3^{4}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2 + 4}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.2.5

Добавим $2$ и $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{6}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.2.6

Объединим ${(- 1)}^{2}$ и $\frac{3^{6}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} \cdot 3^{6}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.13.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{1 \cdot 3^{6}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.3.2

Возведем $3$ в степень $6$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{1 \cdot 729}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.3.3

Умножим $729$ на $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{4}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.14

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{4}}{4}}$

Этап 8.2.2.15

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Этап 8.2.2.16

Умножим $\frac{729}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.16.1

Умножим $\frac{729}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{4 \cdot 4}}$

Этап 8.2.2.16.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{16}}$

Этап 8.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{891}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Этап 8.2.4

Сократим общий множитель $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{891}{16}$ в числитель.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 891}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Этап 8.2.4.2

Вынесем множитель $81$ из $- 891$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 (- 11)}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Этап 8.2.4.3

Вынесем множитель $81$ из $729$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 \cdot - 11}{16} \cdot \frac{16}{81 \cdot 9}$

Этап 8.2.4.4

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 \cdot - 11}{16} \cdot \frac{16}{81 \cdot 9}$

Этап 8.2.4.5

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 11}{16} \cdot \frac{16}{9}$

Этап 8.2.5

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 11}{16} \cdot \frac{16}{9}$

Этап 8.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 11 (\frac{1}{9})$

Этап 8.2.6

Объединим $- 11$ и $\frac{1}{9}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 11}{9}$

Этап 8.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{11}{9}$

Этап 8.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

Этап 8.3

При $x = - \frac{3}{2}$ производная имеет вид $- \frac{11}{9}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 3, 0)$ .

Убывание на $(- 3, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(0, 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{{(\frac{3}{2})}^{2} ({(\frac{3}{2})}^{2} - 27)}{{((\frac{3}{2}) + 3)}^{2} {((\frac{3}{2}) - 3)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot ({(\frac{3}{2})}^{2} - 27)}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (\frac{3^{2}}{2^{2}} - 27)}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (\frac{9}{2^{2}} - 27)}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (\frac{9}{4} - 27)}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.1.5

Чтобы записать $- 27$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (\frac{9}{4} - 27 \cdot \frac{4}{4})}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.1.6

Объединим $- 27$ и $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (\frac{9}{4} + \frac{- 27 \cdot 4}{4})}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{9 - 27 \cdot 4}{4}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.8.1

Умножим $- 27$ на $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{9 - 108}{4}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.1.8.2

Вычтем $108$ из $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{- 99}{4}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (- 1 (\frac{99}{4}))}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.1.10

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.10.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{99}{4})}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.1.10.2

Умножим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на $\frac{99}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{3^{2} \cdot 99}{2^{2} \cdot 4}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.1.10.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{3^{2} \cdot 99}{2^{2} \cdot 2^{2}}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.1.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{3^{2} \cdot 99}{2^{2 + 2}}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.1.10.5

Добавим $2$ и $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{3^{2} \cdot 99}{2^{4}}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.1.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{9 \cdot 99}{2^{4}}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.1.12

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{9 \cdot 99}{16}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.1.13

Умножим $9$ на $99$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.2.2

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3 + 3 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3 + 6}{2})}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.2.4.2

Добавим $3$ и $6$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{9}{2})}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.2.5

Применим правило умножения к $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.2.6

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Этап 9.2.2.7

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 9.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 9.2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.9.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3 - 6}{2})}^{2}}$

Этап 9.2.2.9.2

Вычтем $6$ из $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Этап 9.2.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 9.2.2.11

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}$

Этап 9.2.2.12

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.12.1

Объединим $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ и ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 9.2.2.12.2

Объединим $\frac{9^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ и ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 9.2.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.13.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 9.2.2.13.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.13.2.1

Объединим $9^{2}$ и $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{9^{2} \cdot 3^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 9.2.2.13.2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{{(3^{2})}^{2} \cdot 3^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 9.2.2.13.2.3

Перемножим экспоненты в ${(3^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.13.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2 \cdot 2} \cdot 3^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 9.2.2.13.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{4} \cdot 3^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 9.2.2.13.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{4 + 2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 9.2.2.13.2.5

Добавим $4$ и $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{6}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 9.2.2.13.2.6

Объединим ${(- 1)}^{2}$ и $\frac{3^{6}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} \cdot 3^{6}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 9.2.2.13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.13.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{1 \cdot 3^{6}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 9.2.2.13.3.2

Возведем $3$ в степень $6$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{1 \cdot 729}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 9.2.2.13.3.3

Умножим $729$ на $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 9.2.2.13.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{4}}{2^{2}}}$

Этап 9.2.2.14

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{4}}{4}}$

Этап 9.2.2.15

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Этап 9.2.2.16

Умножим $\frac{729}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.16.1

Умножим $\frac{729}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{4 \cdot 4}}$

Этап 9.2.2.16.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{16}}$

Этап 9.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{891}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Этап 9.2.4

Сократим общий множитель $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{891}{16}$ в числитель.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 891}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Этап 9.2.4.2

Вынесем множитель $81$ из $- 891$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{81 (- 11)}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Этап 9.2.4.3

Вынесем множитель $81$ из $729$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{81 \cdot - 11}{16} \cdot \frac{16}{81 \cdot 9}$

Этап 9.2.4.4

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{81 \cdot - 11}{16} \cdot \frac{16}{81 \cdot 9}$

Этап 9.2.4.5

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 11}{16} \cdot \frac{16}{9}$

Этап 9.2.5

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 11}{16} \cdot \frac{16}{9}$

Этап 9.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{3}{2}) = - 11 (\frac{1}{9})$

Этап 9.2.6

Объединим $- 11$ и $\frac{1}{9}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 11}{9}$

Этап 9.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{11}{9}$

Этап 9.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

Этап 9.3

При $x = \frac{3}{2}$ производная имеет вид $- \frac{11}{9}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 3)$ .

Убывание на $(0, 3)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Подставим значение из интервала $(3, 3 \sqrt{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.098076$ .

$f' (4.098076) = \frac{{(4.098076)}^{2} ({(4.098076)}^{2} - 27)}{{((4.098076) + 3)}^{2} {((4.098076) - 3)}^{2}}$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Возведем $4.098076$ в степень $2$ .

$f' (4.098076) = \frac{{4.098076}^{2} (16.7942269 - 27)}{{(4.098076 + 3)}^{2} {(4.098076 - 3)}^{2}}$

Этап 10.2.1.2

Вычтем $27$ из $16.7942269$ .

$f' (4.098076) = \frac{{4.098076}^{2} \cdot - 10.20577309}{{(4.098076 + 3)}^{2} {(4.098076 - 3)}^{2}}$

Этап 10.2.1.3

Возведем $4.098076$ в степень $2$ .

$f' (4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{(4.098076 + 3)}^{2} {(4.098076 - 3)}^{2}}$

Этап 10.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Добавим $4.098076$ и $3$ .

$f' (4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{7.098076}^{2} {(4.098076 - 3)}^{2}}$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $3$ из $4.098076$ .

$f' (4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{7.098076}^{2} \cdot {1.098076}^{2}}$

Этап 10.2.2.3

Возведем $7.098076$ в степень $2$ .

$f' (4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{50.3826829 \cdot {1.098076}^{2}}$

Этап 10.2.2.4

Возведем $1.098076$ в степень $2$ .

$f' (4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{50.3826829 \cdot 1.2057709}$

Этап 10.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Умножим $16.7942269$ на $- 10.20577309$ .

$f' (4.098076) = \frac{- 171.39806911}{50.3826829 \cdot 1.2057709}$

Этап 10.2.3.2

Умножим $50.3826829$ на $1.2057709$ .

$f' (4.098076) = \frac{- 171.39806911}{60.74997299}$

Этап 10.2.3.3

Разделим $- 171.39806911$ на $60.74997299$ .

$f' (4.098076) = - 2.82136864$

Этап 10.2.4

Окончательный ответ: $- 2.82136864$ .

$- 2.82136864$

Этап 10.3

При $x = 4.098076$ производная имеет вид $- 2.82136864$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(3, 3 \sqrt{3})$ .

Убывание на $(3, 3 \sqrt{3})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 11

Подставим значение из интервала $(3 \sqrt{3}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6.196152$ .

$f' (6.196152) = \frac{{(6.196152)}^{2} ({(6.196152)}^{2} - 27)}{{((6.196152) + 3)}^{2} {((6.196152) - 3)}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $6.196152$ в степень $2$ .

$f' (6.196152) = \frac{{6.196152}^{2} (38.3922996 - 27)}{{(6.196152 + 3)}^{2} {(6.196152 - 3)}^{2}}$

Этап 11.2.1.2

Вычтем $27$ из $38.3922996$ .

$f' (6.196152) = \frac{{6.196152}^{2} \cdot 11.3922996}{{(6.196152 + 3)}^{2} {(6.196152 - 3)}^{2}}$

Этап 11.2.1.3

Возведем $6.196152$ в степень $2$ .

$f' (6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{(6.196152 + 3)}^{2} {(6.196152 - 3)}^{2}}$

Этап 11.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $6.196152$ и $3$ .

$f' (6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{9.196152}^{2} {(6.196152 - 3)}^{2}}$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $3$ из $6.196152$ .

$f' (6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{9.196152}^{2} \cdot {3.196152}^{2}}$

Этап 11.2.2.3

Возведем $9.196152$ в степень $2$ .

$f' (6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{84.5692116 \cdot {3.196152}^{2}}$

Этап 11.2.2.4

Возведем $3.196152$ в степень $2$ .

$f' (6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{84.5692116 \cdot 10.2153876}$

Этап 11.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $38.3922996$ на $11.3922996$ .

$f' (6.196152) = \frac{437.37657972}{84.5692116 \cdot 10.2153876}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $84.5692116$ на $10.2153876$ .

$f' (6.196152) = \frac{437.37657972}{863.90727619}$

Этап 11.2.3.3

Разделим $437.37657972$ на $863.90727619$ .

$f' (6.196152) = 0.50627722$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $0.50627722$ .

$0.50627722$

Этап 11.3

При $x = 6.196152$ производная имеет вид $0.50627722$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(3 \sqrt{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(3 \sqrt{3}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 12

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 3 \sqrt{3}), (3 \sqrt{3}, \infty)$

Убывание на: $(- 3 \sqrt{3}, - 3), (- 3, 0), (0, 3), (3, 3 \sqrt{3})$

Этап 13