Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x - 2 x^{- 2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $4 x - 2 x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{- 2})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{- 2})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{- 2})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{- 2})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{- 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{- 2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$f' (x) = 4 - 2 \frac{d}{d x} x^{- 2}$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$f' (x) = 4 - 2 (- 2 x^{- 3})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f' (x) = 4 + 4 x^{- 3}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 4 x^{- 3} + 4$

Этап 1.1.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{1}{x^{3}}) + 4$

Этап 1.1.4.2.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{3}} + 4$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4}{x^{3}} + 4$ .

$\frac{4}{x^{3}} + 4$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4}{x^{3}} + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4}{x^{3}} + 4 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$\frac{4}{x^{3}} = - 4$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{3}, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{3}$

Этап 2.4

Каждый член в $\frac{4}{x^{3}} = - 4$ умножим на $x^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $\frac{4}{x^{3}} = - 4$ на $x^{3}$ .

$\frac{4}{x^{3}} x^{3} = - 4 x^{3}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{x^{3}} x^{3} = - 4 x^{3}$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$4 = - 4 x^{3}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 x^{3} = 4$ .

$- 4 x^{3} = 4$

Этап 2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x^{3} - 4 = 0$

Этап 2.5.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x^{3} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x^{3} - 4 = 0$

Этап 2.5.3.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4$ .

$- 4 x^{3} - 4 \cdot 1 = 0$

Этап 2.5.3.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (x^{3}) - 4 (1)$ .

$- 4 (x^{3} + 1) = 0$

Этап 2.5.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$- 4 (x^{3} + 1^{3}) = 0$

Этап 2.5.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$- 4 ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Этап 2.5.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.4.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 4 ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

Этап 2.5.3.4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$- 4 ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Этап 2.5.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 4 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Этап 2.5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Этап 2.5.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.5.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.5.6

Приравняем $x^{2} - x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Приравняем $x^{2} - x + 1$ к $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Этап 2.5.6.2

Решим $x^{2} - x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.6.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.6.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ верно.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $- 1$ .

$- 1$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{4}{x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{3}} + 4$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4}{- 8} + 4$

Этап 6.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ и $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 (1)}{- 8} + 4$

Этап 6.2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2} + 4$

Этап 6.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2} + 4$

Этап 6.2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (- 2) = \frac{1}{- 2} + 4$

Этап 6.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + 4$

Этап 6.2.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.2.3

Объединим $4$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 2) = \frac{- 1 + 4 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 + 8}{2}$

Этап 6.2.5.2

Добавим $- 1$ и $8$ .

$f' (- 2) = \frac{7}{2}$

Этап 6.2.6

Окончательный ответ: $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2}$

Этап 6.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $\frac{7}{2}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 1)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 1)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{{(- \frac{1}{2})}^{3}} + 4$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}} + 4$

Этап 7.2.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{- {(\frac{1}{2})}^{3}} + 4$

Этап 7.2.1.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{- \frac{1^{3}}{2^{3}}} + 4$

Этап 7.2.1.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{- \frac{1}{2^{3}}} + 4$

Этап 7.2.1.1.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{- \frac{1}{8}} + 4$

Этап 7.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- 1 \cdot 8) + 4$

Этап 7.2.1.3

Умножим $4 (- 1 \cdot 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot - 8 + 4$

Этап 7.2.1.3.2

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 32 + 4$

Этап 7.2.2

Добавим $- 32$ и $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 28$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 28$ .

$- 28$

Этап 7.3

При $x = - \frac{1}{2}$ производная имеет вид $- 28$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 1, 0)$ .

Убывание на $(- 1, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{4}{{(1)}^{3}} + 4$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = \frac{4}{1} + 4$

Этап 8.2.1.2

Разделим $4$ на $1$ .

$f' (1) = 4 + 4$

Этап 8.2.2

Добавим $4$ и $4$ .

$f' (1) = 8$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $8$ .

$8$

Этап 8.3

При $x = 1$ производная имеет вид $8$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 1), (0, \infty)$

Убывание на: $(- 1, 0)$

Этап 10