Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\cot (x)}$

Этап 1

Изменим двусторонний предел на правосторонний.

$lim_{x \to 0^{+}} {(1 + x)}^{\cot (x)}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(1 + x)}^{\cot (x)}$ в виде $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ , вынося $\cot (x)$ из логарифма.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + x)}$

Этап 4

Перепишем $\cot (x) \ln (1 + x)$ в виде $\frac{\ln (1 + x)}{\frac{1}{\cot (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x)}{\frac{1}{\cot (x)}}}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 + x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Этап 5.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Этап 5.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Этап 5.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Этап 5.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Этап 5.1.2.3.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Этап 5.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}}$

Этап 5.1.3.1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Этап 5.1.3.1.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}}$

Этап 5.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$e^{\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 5.1.3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{0}{\tan (0)}}$

Этап 5.1.3.4

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 5.1.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 5.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x)}{\frac{1}{\cot (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Этап 5.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Этап 5.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Этап 5.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Этап 5.3.3

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Этап 5.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Этап 5.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Этап 5.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Этап 5.3.7

Умножим $\frac{1}{1 + x}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Этап 5.3.8

Изменим порядок членов.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Этап 5.3.9

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}]}}$

Этап 5.3.10

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Этап 5.3.11

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Этап 5.3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.12.1

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Этап 5.3.12.2

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Этап 5.3.13

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Этап 5.3.14

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Этап 5.3.15

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Этап 5.3.16

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Этап 5.3.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Этап 5.3.18

Добавим $1$ и $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Этап 5.3.19

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Этап 5.3.20

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Этап 5.3.21

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Этап 5.3.22

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Этап 5.3.23

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Этап 5.3.24

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}}}$

Этап 5.3.25

Добавим $1$ и $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Этап 5.3.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.26.1

Переставляем члены.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Этап 5.3.26.2

Применим формулу Пифагора.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}}$

Этап 5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x + 1} \cos^{2} (x)}$

Этап 5.5

Объединим $\frac{1}{x + 1}$ и $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos^{2} (x)}{x + 1}}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Этап 6.2

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$e^{\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Этап 6.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Этап 6.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

Этап 6.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (0)}{0 + 1}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{\frac{1^{2}}{0 + 1}}$

Этап 8.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$e^{\frac{1}{0 + 1}}$

Этап 8.2

Добавим $0$ и $1$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Этап 8.3

Разделим $1$ на $1$ .

$e^{1}$

Этап 9

Упростим.

$e$