Математический анализ Примеры

$y = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, x^{2}, 1$

Этап 1.2.2.2

Since $1, x, x^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}$ .

Этап 1.2.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.2.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.2.2.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.2.2.6

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 1.2.2.7

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 1.2.2.8

НОК $x^{1}, x^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x$

Этап 1.2.2.9

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2}$

Этап 1.2.3

Каждый член в $1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = 0$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим каждый член $1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = 0$ на $x^{2}$ .

$1 x^{2} + \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x^{2} + \frac{1}{x} (x \cdot x) + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{1}{x} (x \cdot x) + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} + x + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + x + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + x + 1 = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 1.2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.4.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.4.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.4.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.4.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.4.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.4.4.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.4.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.2.4.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.2.4.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.4.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.5.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.4.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.4.5.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.4.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.2.4.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.2.4.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.3

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

точки пересечения с осью x: $Нет$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 1 + \frac{1}{0} + \frac{1}{{(0)}^{2}}$

Этап 2.2

Уравнение содержит дробь, знаменатель которой может обращаться в ноль.

Неопределенные

Этап 2.3

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

Точки пересечения с осью y: $Нет$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $Нет$

Точки пересечения с осью y: $Нет$

Этап 4