Математический анализ Примеры

$y = x^{4} - 4 x^{2} + 2$ ; $y = x^{2} - 2$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{4} - 4 x^{2} + 2 = x^{2} - 2$

Этап 1.2

Решим $x^{4} - 4 x^{2} + 2 = x^{2} - 2$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} - 4 x^{2} + 2 - x^{2} = - 2$

Этап 1.2.1.2

Вычтем $x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 2 = - 2$

Этап 1.2.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 5 u + 2 = - 2$

$u = x^{2} + y = x^{2} - 2$

Этап 1.2.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u^{2} - 5 u + 2 + 2 = 0$

Этап 1.2.4

Добавим $2$ и $2$ .

$u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Этап 1.2.5

Разложим $u^{2} - 5 u + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $- 5$ .

$- 4, - 1 + y = x^{2} - 2$

Этап 1.2.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 4) (u - 1) = 0$

Этап 1.2.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 4 = 0$

$u - 1 = 0 + y = x^{2} - 2$

Этап 1.2.7

Приравняем $u - 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $u - 4$ к $0$ .

$u - 4 = 0$

Этап 1.2.7.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u = 4$

Этап 1.2.8

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 1.2.8.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 1.2.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 4) (u - 1) = 0$ верно.

$u = 4, 1$

Этап 1.2.10

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 4$

$x^{2} = 1 + y = x^{2} - 2$

Этап 1.2.11

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 4$

Этап 1.2.12

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 1.2.12.2

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 1.2.12.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 1.2.12.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 1.2.12.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 1.2.12.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 1.2.13

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Этап 1.2.14

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.14.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 1$

Этап 1.2.14.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 1.2.14.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 1.2.14.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.14.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 1.2.14.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 1.2.14.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 1.2.15

Решением $x^{4} - 5 x^{2} + 2 = - 2$ является $x = 2, - 2, 1, - 1$ .

$x = 2, - 2, 1, - 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = {(2)}^{2} - 2$

Этап 1.3.2

Подставим $2$ вместо $x$ в $y = {(2)}^{2} - 2$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2^{2} - 2$

Этап 1.3.2.2

Упростим $2^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = 4 - 2$

Этап 1.3.2.2.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$y = 2$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = {(1)}^{2} - 2$

Этап 1.4.2

Подставим $1$ вместо $x$ в $y = {(1)}^{2} - 2$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 1^{2} - 2$

Этап 1.4.2.2

Упростим $1^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1 - 2$

Этап 1.4.2.2.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$y = - 1$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

$(1, - 1)$

$(- 1, - 1)$

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

$(1, - 1)$

$(- 1, - 1)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 2 d x - \int_{- 2}^{- 1} x^{4} - 4 x^{2} + 2 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 2$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 2 - (x^{4} - 4 x^{2} + 2) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 2 - x^{4} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 2$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x^{2} - 2 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 \cdot 2$

Этап 3.2.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{2} - 2 - x^{4} + 4 x^{2} - 2$

$\int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 2 - x^{4} + 4 x^{2} - 2 d x$

Этап 3.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$5 x^{2} - 2 - x^{4} - 2$

Этап 3.3.2

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$5 x^{2} - x^{4} - 4$

$\int_{- 2}^{- 1} 5 x^{2} - x^{4} - 4 d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{- 1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Этап 3.5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{- 2}^{- 1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - \int_{- 2}^{- 1} x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Этап 3.10

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Этап 3.11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Этап 3.12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $- 1$ и в $- 2$ .

$5 ((\frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Этап 3.12.2

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $- 1$ и в $- 2$ .

$5 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Этап 3.12.3

Найдем значение $- 4 x$ в $- 1$ и в $- 2$ .

$5 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$5 (\frac{- 1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (- \frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$5 (- \frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (- \frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$5 (- \frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.6

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$5 (- \frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 \frac{- 1 + 8}{3} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.8

Добавим $- 1$ и $8$ .

$5 (\frac{7}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.9

Объединим $5$ и $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{3} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.10

Умножим $5$ на $7$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.11

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{- 1}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.13

Возведем $- 2$ в степень $5$ .

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} - \frac{- 32}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} - - \frac{32}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} + 1 (\frac{32}{5})) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.16

Умножим $\frac{32}{5}$ на $1$ .

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} + \frac{32}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{35}{3} - \frac{- 1 + 32}{5} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.18

Добавим $- 1$ и $32$ .

$\frac{35}{3} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.19

Чтобы записать $\frac{35}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.20

Чтобы записать $- \frac{31}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.21

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.21.1

Умножим $\frac{35}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.21.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.21.3

Умножим $\frac{31}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{5 \cdot 3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.21.4

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{35 \cdot 5 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.23.1

Умножим $35$ на $5$ .

$\frac{175 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.23.2

Умножим $- 31$ на $3$ .

$\frac{175 - 93}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.23.3

Вычтем $93$ из $175$ .

$\frac{82}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.24

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{82}{15} + 4 + 4 \cdot - 2$

Этап 3.12.4.25

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{82}{15} + 4 - 8$

Этап 3.12.4.26

Вычтем $8$ из $4$ .

$\frac{82}{15} - 4$

Этап 3.12.4.27

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} - 4 \cdot \frac{15}{15}$

Этап 3.12.4.28

Объединим $- 4$ и $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} + \frac{- 4 \cdot 15}{15}$

Этап 3.12.4.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{82 - 4 \cdot 15}{15}$

Этап 3.12.4.30

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.30.1

Умножим $- 4$ на $15$ .

$\frac{82 - 60}{15}$

Этап 3.12.4.30.2

Вычтем $60$ из $82$ .

$\frac{22}{15}$

Этап 4

$A r e a = \int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} + 2 d x - \int_{- 1}^{1} x^{2} - 2 d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} + 2 - (x^{2} - 2) d x$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} - 4 x^{2} + 2 - x^{2} - - 2$

Этап 5.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 2 - x^{2} + 2$

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} + 2 - x^{2} + 2 d x$

Этап 5.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 2 + 2$

Этап 5.3.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 4$

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 5 x^{2} + 4 d x$

Этап 5.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Этап 5.5

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Этап 5.6

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Этап 5.7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Этап 5.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Этап 5.9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 4 x]_{- 1}^{1}$

Этап 5.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Объединим $\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}$ и $4 x]_{- 1}^{1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + 4 x]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Этап 5.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.1

Найдем значение $\frac{1}{5} x^{5} + 4 x$ в $1$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 4 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Этап 5.10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 4 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 4 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$\frac{1}{5} + 4 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{1}{5} + 4 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.4

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.5

Объединим $4$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 4 \cdot 5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.7.1

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{1 + 20}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.7.2

Добавим $1$ и $20$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.8

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{1}{5} \cdot - 1 + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.9

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 1$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{- 1}{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.11

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} - 4) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.12

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} - 4 \cdot \frac{5}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.13

Объединим $- 4$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 4 \cdot 5}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{21}{5} - \frac{- 1 - 4 \cdot 5}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.15.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$\frac{21}{5} - \frac{- 1 - 20}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.15.2

Вычтем $20$ из $- 1$ .

$\frac{21}{5} - \frac{- 21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{21}{5} - - \frac{21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.17

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{21}{5} + 1 (\frac{21}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.18

Умножим $\frac{21}{5}$ на $1$ .

$\frac{21}{5} + \frac{21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{21 + 21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.20

Добавим $21$ и $21$ .

$\frac{42}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.21

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 5.10.2.3.22

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3})$

Этап 5.10.2.3.23

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3})$

Этап 5.10.2.3.24

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Этап 5.10.2.3.25

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

Этап 5.10.2.3.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{42}{5} - 5 \frac{1 + 1}{3}$

Этап 5.10.2.3.27

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{2}{3})$

Этап 5.10.2.3.28

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{42}{5} + \frac{- 5 \cdot 2}{3}$

Этап 5.10.2.3.29

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\frac{42}{5} + \frac{- 10}{3}$

Этап 5.10.2.3.30

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{42}{5} - \frac{10}{3}$

Этап 5.10.2.3.31

Чтобы записать $\frac{42}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{42}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3}$

Этап 5.10.2.3.32

Чтобы записать $- \frac{10}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{42}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 5.10.2.3.33

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.33.1

Умножим $\frac{42}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{42 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 5.10.2.3.33.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 5.10.2.3.33.3

Умножим $\frac{10}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Этап 5.10.2.3.33.4

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10 \cdot 5}{15}$

Этап 5.10.2.3.34

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{42 \cdot 3 - 10 \cdot 5}{15}$

Этап 5.10.2.3.35

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.35.1

Умножим $42$ на $3$ .

$\frac{126 - 10 \cdot 5}{15}$

Этап 5.10.2.3.35.2

Умножим $- 10$ на $5$ .

$\frac{126 - 50}{15}$

Этап 5.10.2.3.35.3

Вычтем $50$ из $126$ .

$\frac{76}{15}$

Этап 6

$A r e a = \int_{1}^{2} x^{2} - 2 d x - \int_{1}^{2} x^{4} - 4 x^{2} + 2 d x$

Этап 7

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{2} x^{2} - 2 - (x^{4} - 4 x^{2} + 2) d x$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 2 - x^{4} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 2$

Этап 7.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x^{2} - 2 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 \cdot 2$

Этап 7.2.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{2} - 2 - x^{4} + 4 x^{2} - 2$

$\int_{1}^{2} x^{2} - 2 - x^{4} + 4 x^{2} - 2 d x$

Этап 7.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Добавим $x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$5 x^{2} - 2 - x^{4} - 2$

Этап 7.3.2

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$5 x^{2} - x^{4} - 4$

$\int_{1}^{2} 5 x^{2} - x^{4} - 4 d x$

Этап 7.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} 5 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Этап 7.5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Этап 7.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Этап 7.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Этап 7.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Этап 7.9

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Этап 7.10

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Этап 7.11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) + - 4 x]_{1}^{2}$

Этап 7.12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $1$ .

$5 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) + - 4 x]_{1}^{2}$

Этап 7.12.2

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $2$ и в $1$ .

$5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + - 4 x]_{1}^{2}$

Этап 7.12.3

Найдем значение $- 4 x$ в $2$ и в $1$ .

$5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.4.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$5 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$5 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 \frac{8 - 1}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.4

Вычтем $1$ из $8$ .

$5 (\frac{7}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.5

Объединим $5$ и $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.6

Умножим $5$ на $7$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.7

Возведем $2$ в степень $5$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{35}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{1}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{35}{3} - \frac{32 - 1}{5} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.10

Вычтем $1$ из $32$ .

$\frac{35}{3} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.11

Чтобы записать $\frac{35}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.12

Чтобы записать $- \frac{31}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.13

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.4.13.1

Умножим $\frac{35}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.13.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.13.3

Умножим $\frac{31}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{5 \cdot 3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.13.4

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{35 \cdot 5 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.4.15.1

Умножим $35$ на $5$ .

$\frac{175 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.15.2

Умножим $- 31$ на $3$ .

$\frac{175 - 93}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.15.3

Вычтем $93$ из $175$ .

$\frac{82}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.16

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{82}{15} - 8 + 4 \cdot 1$

Этап 7.12.4.17

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{82}{15} - 8 + 4$

Этап 7.12.4.18

Добавим $- 8$ и $4$ .

$\frac{82}{15} - 4$

Этап 7.12.4.19

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} - 4 \cdot \frac{15}{15}$

Этап 7.12.4.20

Объединим $- 4$ и $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} + \frac{- 4 \cdot 15}{15}$

Этап 7.12.4.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{82 - 4 \cdot 15}{15}$

Этап 7.12.4.22

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.4.22.1

Умножим $- 4$ на $15$ .

$\frac{82 - 60}{15}$

Этап 7.12.4.22.2

Вычтем $60$ из $82$ .

$\frac{22}{15}$

Этап 8

Сложим площади $\frac{22}{15} + \frac{76}{15} + \frac{22}{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{22 + 76 + 22}{15}$

Этап 8.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $22$ и $76$ .

$\frac{98 + 22}{15}$

Этап 8.2.2

Добавим $98$ и $22$ .

$\frac{120}{15}$

Этап 8.2.3

Разделим $120$ на $15$ .

$8$

Этап 9