Математический анализ Примеры

$y = 1 - 25 x^{2}$ , $y = 0$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$1 - 25 x^{2} = 0$

Этап 1.2

Решим $1 - 25 x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 25 x^{2} = - 1$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- 25 x^{2} = - 1$ на $- 25$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- 25 x^{2} = - 1$ на $- 25$ .

$\frac{- 25 x^{2}}{- 25} = \frac{- 1}{- 25}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 25 x^{2}}{- 25} = \frac{- 1}{- 25}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 25}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} = \frac{1}{25}$

Этап 1.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{25}}$

Этап 1.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{25}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{25}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Этап 1.2.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{25}}$

Этап 1.2.4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Этап 1.2.4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{5}$

Этап 1.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{5}$

Этап 1.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{5}$

Этап 1.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

Этап 1.3

Подставим $\frac{1}{5}$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\frac{1}{5}, 0)$

$(- \frac{1}{5}, 0)$

$(\frac{1}{5}, 0)$

$(- \frac{1}{5}, 0)$

Этап 2

Изменим порядок $1$ и $- 25 x^{2}$ .

$y = - 25 x^{2} + 1$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} - 25 x^{2} + 1 d x - \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} 0 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- \frac{1}{5}$ и $\frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} - 25 x^{2} + 1 - (0) d x$

Этап 4.2

Вычтем $0$ из $- 25 x^{2} + 1$ .

$\int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} - 25 x^{2} + 1 d x$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} - 25 x^{2} d x + \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} d x$

Этап 4.4

Поскольку $- 25$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 25$ из-под знака интеграла.

$- 25 \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} x^{2} d x + \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} d x$

Этап 4.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 25 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}}) + \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} d x$

Этап 4.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- 25 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}}) + \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} d x$

Этап 4.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 25 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}}) + x]_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}}$

Этап 4.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $\frac{1}{5}$ и в $- \frac{1}{5}$ .

$- 25 ((\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{1}{5})}^{3}}{3}) + x]_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}}$

Этап 4.8.1.2

Найдем значение $x$ в $\frac{1}{5}$ и в $- \frac{1}{5}$ .

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} - \frac{{(- \frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Этап 4.8.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{1}{5}$ .

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} - \frac{{(- (\frac{1}{5}))}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Этап 4.8.1.3.2

Применим правило умножения к $- (\frac{1}{5})$ .

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Этап 4.8.1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} - \frac{- {(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Этап 4.8.1.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} - - \frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Этап 4.8.1.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + 1 \frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Этап 4.8.1.3.6

Умножим $\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3}$ на $1$ .

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + \frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Этап 4.8.1.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 25 \frac{{(\frac{1}{5})}^{3} + {(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Этап 4.8.1.3.8

Добавим ${(\frac{1}{5})}^{3}$ и ${(\frac{1}{5})}^{3}$ .

$- 25 \frac{2 {(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Этап 4.8.1.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 25 \frac{2 {(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + \frac{1 + 1}{5}$

Этап 4.8.1.3.10

Добавим $1$ и $1$ .

$- 25 \frac{2 {(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + \frac{2}{5}$

Этап 4.8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$- 25 \frac{2 \frac{1^{3}}{5^{3}}}{3} + \frac{2}{5}$

Этап 4.8.2.1.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$- 25 \frac{2 \frac{1}{5^{3}}}{3} + \frac{2}{5}$

Этап 4.8.2.1.1.3

Возведем $5$ в степень $3$ .

$- 25 \frac{2 (\frac{1}{125})}{3} + \frac{2}{5}$

Этап 4.8.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{125}$ .

$- 25 \frac{\frac{2}{125}}{3} + \frac{2}{5}$

Этап 4.8.2.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- 25 (\frac{2}{125} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{5}$

Этап 4.8.2.1.4

Умножим $\frac{2}{125} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1.4.1

Умножим $\frac{2}{125}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- 25 \frac{2}{125 \cdot 3} + \frac{2}{5}$

Этап 4.8.2.1.4.2

Умножим $125$ на $3$ .

$- 25 (\frac{2}{375}) + \frac{2}{5}$

Этап 4.8.2.1.5

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1.5.1

Вынесем множитель $25$ из $- 25$ .

$25 (- 1) \frac{2}{375} + \frac{2}{5}$

Этап 4.8.2.1.5.2

Вынесем множитель $25$ из $375$ .

$25 \cdot - 1 \frac{2}{25 \cdot 15} + \frac{2}{5}$

Этап 4.8.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$25 \cdot - 1 \frac{2}{25 \cdot 15} + \frac{2}{5}$

Этап 4.8.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{2}{15} + \frac{2}{5}$

Этап 4.8.2.2

Чтобы записать $\frac{2}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{15} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.8.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.3.1

Умножим $\frac{2}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3}$

Этап 4.8.2.3.2

Умножим $5$ на $3$ .

$- \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 3}{15}$

Этап 4.8.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{15}$

Этап 4.8.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{- 2 + 6}{15}$

Этап 4.8.2.5.2

Добавим $- 2$ и $6$ .

$\frac{4}{15}$

Этап 5