Математический анализ Примеры

$e^{2 x} + e^{- x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $e^{2 x} + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.1.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.1.2.5

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 1.1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 1.1.3.5

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Этап 1.1.3.6

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{- x}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 e^{2 x} - e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - e^{- x}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$

Этап 2.2

Перенесем $- e^{- x}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$2 e^{2 x} = e^{- x}$

Этап 2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2 e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

Этап 2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $\ln (2 e^{2 x})$ в виде $\ln (2) + \ln (e^{2 x})$ .

$\ln (2) + \ln (e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

Этап 2.4.2

Развернем $\ln (e^{2 x})$ , вынося $2 x$ из логарифма.

$\ln (2) + 2 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Этап 2.4.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (2) + 2 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Этап 2.4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\ln (2) + 2 x = \ln (e^{- x})$

Этап 2.5

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Развернем $\ln (e^{- x})$ , вынося $- x$ из логарифма.

$\ln (2) + 2 x = - x \ln (e)$

Этап 2.5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (2) + 2 x = - x \cdot 1$

Этап 2.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (2) + 2 x = - x$

Этап 2.6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$\ln (2) + 2 x + x = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $2 x$ и $x$ .

$\ln (2) + 3 x = 0$

Этап 2.7

Вычтем $\ln (2)$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - \ln (2)$

Этап 2.8

Разделим каждый член $3 x = - \ln (2)$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Разделим каждый член $3 x = - \ln (2)$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

Этап 2.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

Этап 2.8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (2)}{3}$

Этап 2.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (2)}{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $e^{2 x} + e^{- x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - \frac{\ln (2)}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- \frac{\ln (2)}{3}$ вместо $x$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (2)}{3})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Этап 4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем $\frac{\ln (2)}{3}$ в виде $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$e^{2 (- (\frac{1}{3} \ln (2)))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Этап 4.1.2.2

Упростим $\frac{1}{3} \ln (2)$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$e^{2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Этап 4.1.2.3.2

Упростим $- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$e^{- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Этап 4.1.2.4

Упростим $- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$e^{\ln ({({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Этап 4.1.2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Этап 4.1.2.6

Перемножим экспоненты в ${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2^{\frac{1}{3}})}^{2 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Этап 4.1.2.7

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{3} \cdot - 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Этап 4.1.2.7.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 2$ .

$2^{\frac{- 2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Этап 4.1.2.7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2^{- \frac{2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Этап 4.1.2.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Этап 4.1.2.9

Перепишем $\frac{\ln (2)}{3}$ в виде $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - (\frac{1}{3} \ln (2))}$

Этап 4.1.2.10

Упростим $\frac{1}{3} \ln (2)$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Этап 4.1.2.11

Умножим $- - \ln (2^{\frac{1}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.11.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{1 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Этап 4.1.2.11.2

Умножим $\ln (2^{\frac{1}{3}})$ на $1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Этап 4.1.2.12

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}}$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(- \frac{\ln (2)}{3}, \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}})$

Этап 5