Математический анализ Примеры

$x^{\frac{19}{9}} + x^{\frac{10}{9}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{19}{9}} + x^{\frac{10}{9}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{9}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{9}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{9}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{19}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{19}{9} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Этап 1.1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{19}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{9}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{19}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Этап 1.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{19}{9} x^{\frac{19 - 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Этап 1.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{19 - 9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $9$ из $19$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{10}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10}{9} - 1}$

Этап 1.1.3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}$

Этап 1.1.3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{9}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}$

Этап 1.1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10 - 1 \cdot 9}{9}}$

Этап 1.1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10 - 9}{9}}$

Этап 1.1.3.5.2

Вычтем $9$ из $10$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{1}{9}}$

Этап 1.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Объединим $\frac{19}{9}$ и $x^{\frac{10}{9}}$ .

$\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10}{9} x^{\frac{1}{9}}$

Этап 1.1.4.2

Объединим $\frac{10}{9}$ и $x^{\frac{1}{9}}$ .

$f' (x) = \frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9}$ .

$\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9} = 0$

Этап 2.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 0.52631578, 0$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{\frac{19}{9}} + x^{\frac{10}{9}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 0.52631578$ вместо $x$ .

${(- 0.52631578)}^{\frac{19}{9}} + {(- 0.52631578)}^{\frac{10}{9}}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{\frac{19}{9}} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{9}$ .

${(0^{9})}^{\frac{19}{9}} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Этап 4.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{9 (\frac{19}{9})} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Этап 4.2.2.1.3

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$0^{9 (\frac{19}{9})} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Этап 4.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$0^{19} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Этап 4.2.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Этап 4.2.2.1.5

Перепишем $0$ в виде $0^{9}$ .

$0 + {(0^{9})}^{\frac{10}{9}}$

Этап 4.2.2.1.6

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 0^{9 (\frac{10}{9})}$

Этап 4.2.2.1.7

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.7.1

Сократим общий множитель.

$0 + 0^{9 (\frac{10}{9})}$

Этап 4.2.2.1.7.2

Перепишем это выражение.

$0 + 0^{10}$

Этап 4.2.2.1.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- 0.52631578, {(- 0.52631578)}^{\frac{19}{9}} + {(- 0.52631578)}^{\frac{10}{9}}), (0, 0)$

Этап 5