Математический анализ Примеры

$y = x^{2} \sqrt{9 - x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{9 - x}$ в виде ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 9 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 - x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 - x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{{(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.8.3

Перенесем ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.9

По правилу суммы производная $9 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.10

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.14.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.14.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.14.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.14.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 1 \cdot x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.14.3.2

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.14.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Этап 1.1.16

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.16.1

Перенесем $2$ влево от ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} x)$

Этап 1.1.16.2

Перенесем ${(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.1.17

Чтобы записать $2 x {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.18

Объединим $2 x {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 x {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.20

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.21

Умножим ${(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.21.1

Перенесем ${(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x ({(- x + 9)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.21.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.21.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.21.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 9)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.21.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x (- x + 9)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.22

Упростим $4 x {(- x + 9)}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x (- x + 9)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x (- x) + 4 x \cdot 9}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.23.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.23.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.23.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 \cdot (- 1 x \cdot x) + 4 x \cdot 9}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.23.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.23.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 \cdot (- 1 (x \cdot x)) + 4 x \cdot 9}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.23.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 \cdot (- 1 x^{2}) + 4 x \cdot 9}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.23.2.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x^{2} + 4 x \cdot 9}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.23.2.1.4

Умножим $9$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x^{2} + 36 x}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.23.2.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 5 x^{2} + 36 x}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.23.3

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x^{2} + 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.23.3.1

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x (- 5 x) + 36 x}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.23.3.2

Вынесем множитель $x$ из $36 x$ .

$f' (x) = \frac{x (- 5 x) + x \cdot 36}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.23.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 5 x) + x \cdot 36$ .

$f' (x) = \frac{x (- 5 x + 36)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.23.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 x$ .

$f' (x) = \frac{x (- (5 x) + 36)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.23.5

Перепишем $36$ в виде $- 1 (- 36)$ .

$f' (x) = \frac{x (- (5 x) - 1 \cdot - 36)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.23.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 x) - 1 (- 36)$ .

$f' (x) = \frac{x (- (5 x - 36))}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.23.7

Перепишем $- (5 x - 36)$ в виде $- 1 (5 x - 36)$ .

$f' (x) = \frac{x (- 1 (5 x - 36))}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.23.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x (5 x - 36)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x (5 x - 36)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x (5 x - 36)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x (5 x - 36)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x (5 x - 36)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x (5 x - 36) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$5 x - 36 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.3

Приравняем $5 x - 36$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $5 x - 36$ к $0$ .

$5 x - 36 = 0$

Этап 2.3.3.2

Решим $5 x - 36 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Добавим $36$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 36$

Этап 2.3.3.2.2

Разделим каждый член $5 x = 36$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 36$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{36}{5}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{36}{5}$

Этап 2.3.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{36}{5}$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (5 x - 36) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{36}{5}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{x (5 x - 36)}{2 \sqrt{{(- x + 9)}^{1}}}$

Этап 3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- \frac{x (5 x - 36)}{2 \sqrt{- x + 9}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{x (5 x - 36)}{2 \sqrt{- x + 9}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{- x + 9} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{- x + 9})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- x + 9}$ в виде ${(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(- x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(- x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(- x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(- x + 9)}^{1} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.4

Упростим.

$4 (- x + 9) = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (- x) + 4 \cdot 9 = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 x + 4 \cdot 9 = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.6.2

Умножим $4$ на $9$ .

$- 4 x + 36 = 0^{2}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 4 x + 36 = 0$

Этап 3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x = - 36$

Этап 3.3.3.2

Разделим каждый член $- 4 x = - 36$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Разделим каждый член $- 4 x = - 36$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 36}{- 4}$

Этап 3.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 36}{- 4}$

Этап 3.3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 36}{- 4}$

Этап 3.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.3.1

Разделим $- 36$ на $- 4$ .

$x = 9$

Этап 3.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- x + 9}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$- x + 9 < 0$

Этап 3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $9$ из обеих частей неравенства.

$- x < - 9$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $- x < - 9$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $- x < - 9$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 9}{- 1}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{- 9}{- 1}$

Этап 3.5.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{- 9}{- 1}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Разделим $- 9$ на $- 1$ .

$x > 9$

Этап 3.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \geq 9$

$[9, \infty)$

$x \geq 9$

$[9, \infty)$

Этап 4

Вычислим $x^{2} \sqrt{9 - x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{2} \sqrt{9 - (0)}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 \sqrt{9 - (0)}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 \sqrt{9 + 0}$

Этап 4.1.2.3

Добавим $9$ и $0$ .

$0 \sqrt{9}$

Этап 4.1.2.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$0 \sqrt{3^{2}}$

Этап 4.1.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$0 \cdot 3$

Этап 4.1.2.6

Умножим $0$ на $3$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{36}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{36}{5}$ вместо $x$ .

${(\frac{36}{5})}^{2} \sqrt{9 - (\frac{36}{5})}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{36}{5}$ .

$\frac{36^{2}}{5^{2}} \sqrt{9 - (\frac{36}{5})}$

Этап 4.2.2.2

Возведем $36$ в степень $2$ .

$\frac{1296}{5^{2}} \sqrt{9 - (\frac{36}{5})}$

Этап 4.2.2.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{1296}{25} \sqrt{9 - (\frac{36}{5})}$

Этап 4.2.2.4

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1296}{25} \sqrt{9 \cdot \frac{5}{5} - \frac{36}{5}}$

Этап 4.2.2.5

Объединим $9$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1296}{25} \sqrt{\frac{9 \cdot 5}{5} - \frac{36}{5}}$

Этап 4.2.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1296}{25} \sqrt{\frac{9 \cdot 5 - 36}{5}}$

Этап 4.2.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.7.1

Умножим $9$ на $5$ .

$\frac{1296}{25} \sqrt{\frac{45 - 36}{5}}$

Этап 4.2.2.7.2

Вычтем $36$ из $45$ .

$\frac{1296}{25} \sqrt{\frac{9}{5}}$

Этап 4.2.2.8

Перепишем $\sqrt{\frac{9}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$

Этап 4.2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.9.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{5}}$

Этап 4.2.2.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}}$

Этап 4.2.2.10

Умножим $\frac{3}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1296}{25} (\frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Этап 4.2.2.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.11.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 4.2.2.11.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 4.2.2.11.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 4.2.2.11.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 4.2.2.11.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 4.2.2.11.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.11.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.2.11.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.2.11.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.2.11.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.11.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.2.11.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 4.2.2.11.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Этап 4.2.2.12

Умножим $\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.12.1

Умножим $\frac{1296}{25}$ на $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{1296 (3 \sqrt{5})}{25 \cdot 5}$

Этап 4.2.2.12.2

Умножим $3$ на $1296$ .

$\frac{3888 \sqrt{5}}{25 \cdot 5}$

Этап 4.2.2.12.3

Умножим $25$ на $5$ .

$\frac{3888 \sqrt{5}}{125}$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $9$ вместо $x$ .

${(9)}^{2} \sqrt{9 - (9)}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$81 \sqrt{9 - (9)}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$81 \sqrt{9 - 9}$

Этап 4.3.2.3

Вычтем $9$ из $9$ .

$81 \sqrt{0}$

Этап 4.3.2.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$81 \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.3.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$81 \cdot 0$

Этап 4.3.2.6

Умножим $81$ на $0$ .

$0$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 0), (\frac{36}{5}, \frac{3888 \sqrt{5}}{125}), (9, 0)$

Этап 5