Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{6} - 105 x^{5} + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x$

Этап 1

Приравняем $5 x^{6} - 105 x^{5} + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x$ к $0$ .

$5 x^{6} - 105 x^{5} + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x^{6} - 105 x^{5} + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x^{6}$ .

$5 x (x^{5}) - 105 x^{5} + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $5 x$ из $- 105 x^{5}$ .

$5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4}) + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $5 x$ из $655 x^{4}$ .

$5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3}) - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x = 0$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $5 x$ из $- 35 x^{3}$ .

$5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2}) - 11760 x^{2} + 27440 x = 0$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $5 x$ из $- 11760 x^{2}$ .

$5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x) + 27440 x = 0$

Этап 2.1.1.6

Вынесем множитель $5 x$ из $27440 x$ .

$5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x) + 5 x (5488) = 0$

Этап 2.1.1.7

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4})$ .

$5 x (x^{5} - 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x) + 5 x (5488) = 0$

Этап 2.1.1.8

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (x^{5} - 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3})$ .

$5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x) + 5 x (5488) = 0$

Этап 2.1.1.9

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2})$ .

$5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3} - 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x) + 5 x (5488) = 0$

Этап 2.1.1.10

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3} - 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x)$ .

$5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3} - 7 x^{2} - 2352 x) + 5 x (5488) = 0$

Этап 2.1.1.11

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3} - 7 x^{2} - 2352 x) + 5 x (5488)$ .

$5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3} - 7 x^{2} - 2352 x + 5488) = 0$

Этап 2.1.2

Перегруппируем члены.

$5 x (x^{5} - 7 x^{2} - 2352 x - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} - 7 x^{2} - 2352 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$5 x (x \cdot x^{4} - 7 x^{2} - 2352 x - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

Этап 2.1.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 7 x^{2}$ .

$5 x (x \cdot x^{4} + x (- 7 x) - 2352 x - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

Этап 2.1.3.3

Вынесем множитель $x$ из $- 2352 x$ .

$5 x (x \cdot x^{4} + x (- 7 x) + x \cdot - 2352 - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

Этап 2.1.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x (- 7 x)$ .

$5 x (x (x^{4} - 7 x) + x \cdot - 2352 - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

Этап 2.1.3.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{4} - 7 x) + x \cdot - 2352$ .

$5 x (x (x^{4} - 7 x - 2352) - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Разложим $x^{4} - 7 x - 2352$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2352, \pm 2, \pm 1176, \pm 3, \pm 784, \pm 4, \pm 588, \pm 6, \pm 392, \pm 7, \pm 336, \pm 8, \pm 294, \pm 12, \pm 196, \pm 14, \pm 168, \pm 16, \pm 147, \pm 21, \pm 112, \pm 24, \pm 98, \pm 28, \pm 84, \pm 42, \pm 56, \pm 48, \pm 49$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.4.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2352, \pm 2, \pm 1176, \pm 3, \pm 784, \pm 4, \pm 588, \pm 6, \pm 392, \pm 7, \pm 336, \pm 8, \pm 294, \pm 12, \pm 196, \pm 14, \pm 168, \pm 16, \pm 147, \pm 21, \pm 112, \pm 24, \pm 98, \pm 28, \pm 84, \pm 42, \pm 56, \pm 48, \pm 49$

Этап 2.1.4.1.3

Подставим $7$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $7$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.3.1

Подставим $7$ в многочлен.

$7^{4} - 7 \cdot 7 - 2352$

Этап 2.1.4.1.3.2

Возведем $7$ в степень $4$ .

$2401 - 7 \cdot 7 - 2352$

Этап 2.1.4.1.3.3

Умножим $- 7$ на $7$ .

$2401 - 49 - 2352$

Этап 2.1.4.1.3.4

Вычтем $49$ из $2401$ .

$2352 - 2352$

Этап 2.1.4.1.3.5

Вычтем $2352$ из $2352$ .

$0$

Этап 2.1.4.1.4

Поскольку $7$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 7$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 7 x - 2352}{x - 7}$

Этап 2.1.4.1.5

Разделим $x^{4} - 7 x - 2352$ на $x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

Этап 2.1.4.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

Этап 2.1.4.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

Этап 2.1.4.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - 7 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

Этап 2.1.4.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

Этап 2.1.4.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 2.1.4.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $7 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 2.1.4.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

Этап 2.1.4.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $7 x^{3} - 49 x^{2}$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

Этап 2.1.4.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

Этап 2.1.4.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

Этап 2.1.4.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $49 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

Этап 2.1.4.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

Этап 2.1.4.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $49 x^{2} - 343 x$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

Этап 2.1.4.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

Этап 2.1.4.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

$2352$

Этап 2.1.4.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $336 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$336$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

$2352$

Этап 2.1.4.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$336$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

$2352$

$336 x$

$2352$

Этап 2.1.4.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $336 x - 2352$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$336$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

$2352$

$336 x$

$2352$

Этап 2.1.4.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$336$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

$2352$

$336 x$

$2352$

$0$

Этап 2.1.4.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336$

Этап 2.1.4.1.6

Запишем $x^{4} - 7 x - 2352$ в виде набора множителей.

$5 x (x ((x - 7) (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336)) - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

Этап 2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$5 x (x (x - 7) (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336) - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

Этап 2.1.5

Разложим $- 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

$p = \pm 1, \pm 5488, \pm 2, \pm 2744, \pm 4, \pm 1372, \pm 7, \pm 784, \pm 8, \pm 686, \pm 14, \pm 392, \pm 16, \pm 343, \pm 28, \pm 196, \pm 49, \pm 112, \pm 56, \pm 98$

$q = \pm 1, \pm 21, \pm 3, \pm 7$

Этап 2.1.5.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{047619}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.\overline{142857}, \pm 5488, \pm 261.\overline{3}, \pm 1829.\overline{3}, \pm 784, \pm 2, \pm 0.\overline{095238}, \pm 0.\overline{6}, \pm 0.\overline{285714}, \pm 2744, \pm 130.\overline{6}, \pm 914.\overline{6}, \pm 392, \pm 4, \pm 0.\overline{190476}, \pm 1.\overline{3}, \pm 0.\overline{571428}, \pm 1372, \pm 65.\overline{3}, \pm 457.\overline{3}, \pm 196, \pm 7, \pm 2.\overline{3}, \pm 37.\overline{3}, \pm 112, \pm 8, \pm 0.\overline{380952}, \pm 2.\overline{6}, \pm 1.\overline{142857}, \pm 686, \pm 32.\overline{6}, \pm 228.\overline{6}, \pm 98, \pm 14, \pm 4.\overline{6}, \pm 18.\overline{6}, \pm 56, \pm 16, \pm 0.\overline{761904}, \pm 5.\overline{3}, \pm 2.\overline{285714}, \pm 343, \pm 16.\overline{3}, \pm 114.\overline{3}, \pm 49, \pm 28, \pm 9.\overline{3}$

Этап 2.1.5.3

Подставим $7$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $7$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.1

Подставим $7$ в многочлен.

$- 21 \cdot 7^{4} + 131 \cdot 7^{3} + 5488$

Этап 2.1.5.3.2

Возведем $7$ в степень $4$ .

$- 21 \cdot 2401 + 131 \cdot 7^{3} + 5488$

Этап 2.1.5.3.3

Умножим $- 21$ на $2401$ .

$- 50421 + 131 \cdot 7^{3} + 5488$

Этап 2.1.5.3.4

Возведем $7$ в степень $3$ .

$- 50421 + 131 \cdot 343 + 5488$

Этап 2.1.5.3.5

Умножим $131$ на $343$ .

$- 50421 + 44933 + 5488$

Этап 2.1.5.3.6

Добавим $- 50421$ и $44933$ .

$- 5488 + 5488$

Этап 2.1.5.3.7

Добавим $- 5488$ и $5488$ .

$0$

Этап 2.1.5.4

$\frac{- 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488}{x - 7}$

Этап 2.1.5.5

Разделим $- 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488$ на $x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.5.1

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

Этап 2.1.5.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 21 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$21 x^{3}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

Этап 2.1.5.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$21 x^{3}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

Этап 2.1.5.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 21 x^{4} + 147 x^{3}$ .

$21 x^{3}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

Этап 2.1.5.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$21 x^{3}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

Этап 2.1.5.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$21 x^{3}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 2.1.5.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 16 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 2.1.5.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

Этап 2.1.5.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 16 x^{3} + 112 x^{2}$ .

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

Этап 2.1.5.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

Этап 2.1.5.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

Этап 2.1.5.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 112 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

Этап 2.1.5.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

Этап 2.1.5.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 112 x^{2} + 784 x$ .

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

Этап 2.1.5.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

Этап 2.1.5.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

$5488$

Этап 2.1.5.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 784 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$784$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

$5488$

Этап 2.1.5.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$784$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

$5488$

$784 x$

$5488$

Этап 2.1.5.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 784 x + 5488$ .

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$784$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

$5488$

$784 x$

$5488$

Этап 2.1.5.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$784$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

$5488$

$784 x$

$5488$

$0$

Этап 2.1.5.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784$

Этап 2.1.5.6

Запишем $- 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488$ в виде набора множителей.

$5 x (x (x - 7) (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336) + (x - 7) (- 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель $x - 7$ из $x (x - 7) (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336) + (x - 7) (- 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Вынесем множитель $x - 7$ из $x (x - 7) (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336)$ .

$5 x ((x - 7) (x (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336)) + (x - 7) (- 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.6.2

Вынесем множитель $x - 7$ из $(x - 7) (x (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336)) + (x - 7) (- 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)$ .

$5 x ((x - 7) (x (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336) - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x ((x - 7) (x \cdot x^{3} + x (7 x^{2}) + x (49 x) + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x ((x - 7) (x \cdot x^{3} + x (7 x^{2}) + x (49 x) + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.8.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x ((x - 7) (x^{1 + 3} + x (7 x^{2}) + x (49 x) + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.8.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} + x (7 x^{2}) + x (49 x) + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.8.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x \cdot x^{2} + x (49 x) + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.8.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x \cdot x^{2} + 49 x \cdot x + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.8.4

Перенесем $336$ влево от $x$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x \cdot x^{2} + 49 x \cdot x + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 (x^{2} x) + 49 x \cdot x + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.9.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 (x^{2} x) + 49 x \cdot x + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.9.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x^{2 + 1} + 49 x \cdot x + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.9.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x^{3} + 49 x \cdot x + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.9.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.2.1

Перенесем $x$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x^{3} + 49 (x \cdot x) + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.9.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x^{3} + 49 x^{2} + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x^{3} + 49 x^{2} + 336 x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.10

Вычтем $21 x^{3}$ из $7 x^{3}$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} - 14 x^{3} + 49 x^{2} + 336 x - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.11

Вычтем $16 x^{2}$ из $49 x^{2}$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 336 x - 112 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.12

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Вычтем $112 x$ из $336 x$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784)) = 0$

Этап 2.1.12.2

Избавимся от ненужных скобок.

$5 x (x - 7) (x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 7 = 0$

$x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 2.5

Приравняем $x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784$ к $0$ .

$x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Перегруппируем члены.

$- 14 x^{3} + 224 x + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

Этап 2.5.2.1.2

Вынесем множитель $- 14 x$ из $- 14 x^{3} + 224 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.2.1

Вынесем множитель $- 14 x$ из $- 14 x^{3}$ .

$- 14 x \cdot x^{2} + 224 x + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

Этап 2.5.2.1.2.2

Вынесем множитель $- 14 x$ из $224 x$ .

$- 14 x \cdot x^{2} - 14 x \cdot - 16 + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

Этап 2.5.2.1.2.3

Вынесем множитель $- 14 x$ из $- 14 x (x^{2}) - 14 x (- 16)$ .

$- 14 x (x^{2} - 16) + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

Этап 2.5.2.1.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$- 14 x (x^{2} - 4^{2}) + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

Этап 2.5.2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$- 14 x ((x + 4) (x - 4)) + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

Этап 2.5.2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

Этап 2.5.2.1.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + {(x^{2})}^{2} + 33 x^{2} - 784 = 0$

Этап 2.5.2.1.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + u^{2} + 33 u - 784 = 0$

Этап 2.5.2.1.7

Разложим $u^{2} + 33 u - 784$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 784$ , а сумма — $33$ .

$- 16, 49$

Этап 2.5.2.1.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + (u - 16) (u + 49) = 0$

Этап 2.5.2.1.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + (x^{2} - 16) (x^{2} + 49) = 0$

Этап 2.5.2.1.9

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + (x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 49) = 0$

Этап 2.5.2.1.10

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 49) = 0$

Этап 2.5.2.1.11

Вынесем множитель $(x + 4) (x - 4)$ из $- 14 x (x + 4) (x - 4) + (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 49)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.11.1

Вынесем множитель $(x + 4) (x - 4)$ из $- 14 x (x + 4) (x - 4)$ .

$(x + 4) (x - 4) (- 14 x) + (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 49) = 0$

Этап 2.5.2.1.11.2

Вынесем множитель $(x + 4) (x - 4)$ из $(x + 4) (x - 4) (- 14 x) + (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 49)$ .

$(x + 4) (x - 4) (- 14 x + x^{2} + 49) = 0$

Этап 2.5.2.1.12

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x + 4) (x - 4) (- 14 u + u^{2} + 49) = 0$

Этап 2.5.2.1.13

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.13.1

Переставляем члены.

$(x + 4) (x - 4) (u^{2} - 14 u + 49) = 0$

Этап 2.5.2.1.13.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$(x + 4) (x - 4) (u^{2} - 14 u + 7^{2}) = 0$

Этап 2.5.2.1.13.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$14 u = 2 \cdot u \cdot 7$

Этап 2.5.2.1.13.4

Перепишем многочлен.

$(x + 4) (x - 4) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Этап 2.5.2.1.13.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 7$ .

$(x + 4) (x - 4) {(u - 7)}^{2} = 0$

Этап 2.5.2.1.14

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x + 4) (x - 4) {(x - 7)}^{2} = 0$

Этап 2.5.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

${(x - 7)}^{2} = 0$

Этап 2.5.2.3

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.5.2.3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.5.2.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.5.2.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.5.2.5

Приравняем ${(x - 7)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Приравняем ${(x - 7)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

Этап 2.5.2.5.2

Решим ${(x - 7)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.2.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 2.5.2.5.2.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 2.5.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 4) (x - 4) {(x - 7)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 4, 4, 7$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $5 x (x - 7) (x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784) = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = 0$ (кратно $1$ )

$x = 7$ (кратно $2$ )

$x = - 4$ (кратно $1$ )

$x = 4$ (кратно $1$ )

$x = 0$ (кратно $1$ )

$x = 7$ (кратно $2$ )

$x = - 4$ (кратно $1$ )

$x = 4$ (кратно $1$ )

Этап 3