Математический анализ Примеры

$(x - 2) (x - 5) > 40$

Этап 1

Упростим $(x - 2) (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $(x - 2) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 5) - 2 (x - 5) > 40$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 5 - 2 (x - 5) > 40$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 5 - 2 x - 2 \cdot - 5 > 40$

Этап 1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 5 - 2 x - 2 \cdot - 5 > 40$

Этап 1.2.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$x^{2} - 5 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 5 > 40$

Этап 1.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$x^{2} - 5 x - 2 x + 10 > 40$

Этап 1.2.2

Вычтем $2 x$ из $- 5 x$ .

$x^{2} - 7 x + 10 > 40$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 7 x + 10 = 40$

Этап 3

Вычтем $40$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 7 x + 10 - 40 = 0$

Этап 4

Вычтем $40$ из $10$ .

$x^{2} - 7 x - 30 = 0$

Этап 5

Разложим $x^{2} - 7 x - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 30$ , а сумма — $- 7$ .

$- 10, 3$

Этап 5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 10) (x + 3) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 7

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 7.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 8

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 10) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 10, - 3$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 10$

$x > 10$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$((- 6) - 2) ((- 6) - 5) > 40$

Этап 11.1.3

Левая часть $88$ больше правой части $40$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) - 2) ((0) - 5) > 40$

Этап 11.2.3

Левая часть $10$ не больше правой части $40$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$((12) - 2) ((12) - 5) > 40$

Этап 11.3.3

Левая часть $70$ больше правой части $40$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 10$ Ложь

$x > 10$ Истина

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 10$ Ложь

$x > 10$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 3$ или $x > 10$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 3) \cup (10, \infty)$

Этап 14