Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 9}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 9) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 9) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 9 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 9 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 9 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 9 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 9 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 18 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} - 18 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 18 x + 0}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.2.2

Добавим $- 18 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{- 18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.6.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.5.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{18 x}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.6.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$f' (x) = - \frac{18 x}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

Этап 1.1.6.5.3

Применим правило умножения к $(x + 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = - \frac{18 x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{18 x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.2.2

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.3.2

Умножим ${(x + 3)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(x + 3)}^{2}$ и $g (x) = {(x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x - 3$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 3$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} (2 (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Перенесем $2$ влево от ${(x + 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 3)}^{2} (x - 3)) \frac{d}{d x} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.6.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (1 + 0) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.6.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) \cdot 1 + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.6.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 3$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 3$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (2 (x + 3) \frac{d}{d x} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Перенесем $2$ влево от ${(x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 \cdot ({(x - 3)}^{2} (x + 3)) \frac{d}{d x} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.8.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} (3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.8.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (1 + 0))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.8.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) \cdot 1)}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.8.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.8.5.3

Объединим $- 18$ и $\frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.8.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{(18) ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Применим правило умножения к ${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{18 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3)) - x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{18 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}) + 18 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3))) + 18 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.4.1

Вынесем множитель $18 (x + 3) (x - 3)$ из $18 {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} + 18 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3))) + 18 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.4.1.1

Вынесем множитель $18 (x + 3) (x - 3)$ из $18 {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 18 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3))) + 18 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.1.2

Вынесем множитель $18 (x + 3) (x - 3)$ из $18 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3)))$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 18 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x + 3))) + 18 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.1.3

Вынесем множитель $18 (x + 3) (x - 3)$ из $18 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 18 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x + 3))) + 18 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.1.4

Вынесем множитель $18 (x + 3) (x - 3)$ из $18 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 18 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x + 3)))$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - x (2 (x + 3))) + 18 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.1.5

Вынесем множитель $18 (x + 3) (x - 3)$ из $18 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - x (2 (x + 3))) + 18 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x - 3)))$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - x (2 (x + 3)) - x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.4.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - 2 x (x + 3) - x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.4.3.1

Развернем $(x + 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.4.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x (x - 3) + 3 (x - 3) - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.3.2

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.4.3.2.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 3$ и $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.3.2.2

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.3.2.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.4.3.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.3.3.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.3.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.4.3.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.3.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 3 - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.3.6

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.3.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.4.3.8.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.3.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.3.9

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} + 6 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.4

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.4.4.1

Добавим $- 6 x$ и $6 x$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.4.2

Добавим $x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.5

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 9 - 2 x^{2})}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.6

Вычтем $2 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (- 3 x^{2} - 9)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.7

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.4.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (3 (- x^{2}) - 9)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.7.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (3 (- x^{2}) + 3 (- 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.7.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x^{2}) + 3 (- 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) (3 (- x^{2} - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{18 (x + 3) (x - 3) \cdot (3 (- x^{2} - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.4.8

Умножим $3$ на $18$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.5.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{2 \cdot 2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.5.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{4} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.9.5.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.9.5.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Этап 1.2.9.5.3

Сократим общий множитель $x + 3$ и ${(x + 3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.5.3.1

Вынесем множитель $x + 3$ из $54 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((54 (x - 3)) (- x^{2} - 3))}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Этап 1.2.9.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.5.3.2.1

Вынесем множитель $x + 3$ из ${(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((54 (x - 3)) (- x^{2} - 3))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Этап 1.2.9.5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((54 (x - 3)) (- x^{2} - 3))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Этап 1.2.9.5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{(54 (x - 3)) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Этап 1.2.9.5.4

Сократим общий множитель $x - 3$ и ${(x - 3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.5.4.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $54 (x - 3) (- x^{2} - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (54 (- x^{2} - 3))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Этап 1.2.9.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.5.4.2.1

Вынесем множитель $x - 3$ из ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (54 (- x^{2} - 3))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Этап 1.2.9.5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (54 (- x^{2} - 3))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Этап 1.2.9.5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 1.2.9.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2}) - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 1.2.9.7

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2}) - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 1.2.9.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2} + 3))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 1.2.9.9

Перепишем $- (x^{2} + 3)$ в виде $- 1 (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- 1 (x^{2} + 3))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 1.2.9.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{54 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 1.2.9.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{54 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}})$

Этап 1.2.9.12

Умножим $\frac{54 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{54 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{54 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{54 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{54 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{54 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$54 (x^{2} + 3) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $54 (x^{2} + 3) = 0$ на $54$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим каждый член $54 (x^{2} + 3) = 0$ на $54$ .

$\frac{54 (x^{2} + 3)}{54} = \frac{0}{54}$

Этап 2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{54 (x^{2} + 3)}{54} = \frac{0}{54}$

Этап 2.3.1.2.1.2

Разделим $x^{2} + 3$ на $1$ .

$x^{2} + 3 = \frac{0}{54}$

Этап 2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $54$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 3$

Этап 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Этап 2.3.4

Упростим $\pm \sqrt{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Этап 2.3.4.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Этап 2.3.4.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Этап 2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{3}$

Этап 2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Этап 3

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба