Математический анализ Примеры

$y = \frac{e^{- x} + 1}{e^{x}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{e^{- x} + 1}{e^{x}})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = e^{- x} + 1$ и $g (y) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Этап 3.2.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.2.2

По правилу суммы производная $e^{- x} + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- x$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + 0) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.7

Добавим $e^{- x} (- x')$ и $0$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x')) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.8

Умножим $e^{x}$ на $e^{- x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} e^{x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{- x + x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.8.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{e^{0} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.9

Упростим $e^{0} (- x')$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.10

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Этап 3.10.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Этап 3.10.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Этап 3.11

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Этап 3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x' + (- e^{- x} - 1 \cdot 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x' - e^{- x} (e^{x} x') - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.1.1

Умножим $e^{- x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.1.1.1

Перенесем $e^{x}$ .

$\frac{- x' - (e^{x} e^{- x}) x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- x' - e^{x - x} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.3.1.1.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{- x' - e^{0} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.3.1.2

Упростим $- e^{0} x'$ .

$\frac{- x' - 1 x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.3.1.3

Перепишем $- 1 x'$ в виде $- x'$ .

$\frac{- x' - x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- x' - x' - 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.3.1.5

Перепишем $- 1 (e^{x} x')$ в виде $- (e^{x} x')$ .

$\frac{- x' - x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.3.2

Вычтем $x'$ из $- x'$ .

$\frac{- 2 x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- e^{x} x' - 2 x'}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.5

Вынесем множитель $x'$ из $- e^{x} x' - 2 x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.5.1

Вынесем множитель $x'$ из $- e^{x} x'$ .

$\frac{x' (- e^{x}) - 2 x'}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.5.2

Вынесем множитель $x'$ из $- 2 x'$ .

$\frac{x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.5.3

Вынесем множитель $x'$ из $x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2$ .

$\frac{x' (- e^{x} - 2)}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{x}$ .

$\frac{x' (- (e^{x}) - 2)}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.7

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{x' (- (e^{x}) - 1 (2))}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (e^{x}) - 1 (2)$ .

$\frac{x' (- (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.9

Перепишем $- (e^{x} + 2)$ в виде $- 1 (e^{x} + 2)$ .

$\frac{x' (- 1 (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$

Этап 3.12.11

Изменим порядок множителей в $- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$ .

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = - \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ .

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Разделим $\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ на $1$ .

$\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.2.2.2

Изменим порядок множителей в $\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = - 1$

Этап 5.3

Умножим обе части на $e^{2 x}$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

Этап 5.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

Этап 5.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

Этап 5.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x' e^{x} + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

Этап 5.4.1.3

Перенесем $2$ влево от $x'$ .

$x' e^{x} + 2 x' = - e^{2 x}$

Этап 5.5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $x'$ из $x' e^{x} + 2 x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Вынесем множитель $x'$ из $x' e^{x}$ .

$x' (e^{x}) + 2 x' = - e^{2 x}$

Этап 5.5.1.2

Вынесем множитель $x'$ из $2 x'$ .

$x' (e^{x}) + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

Этап 5.5.1.3

Вынесем множитель $x'$ из $x' (e^{x}) + x' \cdot 2$ .

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ на $e^{x} + 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ на $e^{x} + 2$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{x} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Этап 5.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$