Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{2 x + 3}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = \sqrt{2 x + 3}$

Этап 2

Перепишем ${\sqrt{2 x + 3}}^{2}$ в виде $2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + 3}$ в виде ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$V = {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель.

$V = {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.4.2

Перепишем это выражение.

$V = 2 x + 3$

Этап 2.5

Упростим.

$V = 2 x + 3$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{1} 2 x d x + \int_{0}^{1} 3 d x)$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$V = π (2 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 3 d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 d x)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 d x)$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 x]_{0}^{1})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$V = π (2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 3 x]_{0}^{1})$

Этап 8.2

Найдем значение $3 x$ в $1$ и в $0$ .

$V = π (2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Этап 8.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Этап 8.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Этап 8.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Этап 8.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Этап 8.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} - 0) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Этап 8.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} + 0) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Этап 8.3.5

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Этап 8.3.6

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$V = π (\frac{2}{2} + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Этап 8.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{2}{2} + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Этап 8.3.7.2

Перепишем это выражение.

$V = π (1 + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Этап 8.3.8

Умножим $3$ на $1$ .

$V = π (1 + 3 - 3 \cdot 0)$

Этап 8.3.9

Умножим $- 3$ на $0$ .

$V = π (1 + 3 + 0)$

Этап 8.3.10

Добавим $3$ и $0$ .

$V = π (1 + 3)$

Этап 8.3.11

Добавим $1$ и $3$ .

$V = π \cdot 4$

Этап 8.3.12

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$V = 4 π$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = 4 π$

Десятичная форма:

$V = 12.56637061 \dots$

Этап 10