Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Этап 1.1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Этап 1.1.2.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos^{3} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} \cos^{3} (x)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 1.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 1.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 1.1.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Этап 1.1.3.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Этап 1.1.3.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Этап 1.1.4.2

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Этап 1.1.4.2.2

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $- 3 \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Этап 1.1.4.2.3

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Этап 1.1.4.3

Изменим порядок $\cos^{2} (x)$ и $- 1$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Этап 1.1.4.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x))$

Этап 1.1.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Этап 1.1.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Этап 1.1.4.7

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Этап 1.1.4.8

Применим формулу Пифагора.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Этап 1.1.4.9

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.9.1

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Этап 1.1.4.9.2

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.9.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Этап 1.1.4.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Этап 1.1.4.9.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f' (x) = 3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Этап 1.1.4.10

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 \sin^{3} (x)$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\sin^{3} (x)$ на $1$ .

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $0$ на $- 3$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Этап 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Этап 2.4

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\sin (x) = 0$

Этап 2.5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 2.6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 2.7

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 2.8

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 2.9

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.9.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.9.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.10

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.11

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $π n$ .

$π n$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ в интервале $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, π n)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π n - 1$ .

$f' (π n - 1) = - 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Этап 5.2

Окончательный ответ: $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ .

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Этап 5.3

Упростим.

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Этап 5.4

При $x = π n - 1$ производная имеет вид $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, π n)$ .

Убывание на $(- \infty, π n)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(π n, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π n + 1$ .

$f' (π n + 1) = - 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ .

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Этап 6.3

Упростим.

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Этап 6.4

При $x = π n + 1$ производная имеет вид $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(π n, \infty)$ .

Убывание на $(π n, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, π n), (π n, \infty)$

Этап 8