Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Изменим порядок членов.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x e^{x}$ из $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x e^{x}$ из $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $x e^{x}$ из $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $x e^{x}$ из $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 2.5.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 2.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.5.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 2.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x e^{x} (x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, - 2$ .

$0, - 2$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = {(- 3)}^{2} e^{- 3} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = 9 e^{- 3} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Этап 5.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = 9 (\frac{1}{e^{3}}) + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Этап 5.2.1.3

Объединим $9$ и $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Этап 5.2.1.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - 6 \cdot e^{- 3}$

Этап 5.2.1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - 6 \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Этап 5.2.1.6

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} + \frac{- 6}{e^{3}}$

Этап 5.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - \frac{6}{e^{3}}$

Этап 5.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 3) = \frac{9 - 6}{e^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $6$ из $9$ .

$f' (- 3) = \frac{3}{e^{3}}$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $\frac{3}{e^{3}}$ .

$\frac{3}{e^{3}}$

Этап 5.3

При $x = - 3$ производная имеет вид $\frac{3}{e^{3}}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 2, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = {(- 1)}^{2} e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = 1 e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $e^{- 1}$ на $1$ .

$f' (- 1) = e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Этап 6.2.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - 2 \cdot e^{- 1}$

Этап 6.2.1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - 2 \cdot \frac{1}{e}$

Этап 6.2.1.6

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

Этап 6.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

Этап 6.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 1) = \frac{1 - 2}{e}$

Этап 6.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{e}$

Этап 6.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 1) = - \frac{1}{e}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e}$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- \frac{1}{e}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 2, 0)$ .

Убывание на $(- 2, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = {(1)}^{2} e^{1} + 2 (1) \cdot e^{1}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 1 e + 2 (1) \cdot e$

Этап 7.2.1.2

Умножим $e^{1}$ на $1$ .

$f' (1) = e + 2 (1) \cdot e$

Этап 7.2.1.3

Упростим.

$f' (1) = e + 2 (1) \cdot e$

Этап 7.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (1) = e + 2 e$

Этап 7.2.2

Добавим $e$ и $2 e$ .

$f' (1) = 3 e$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $3 e$ .

$3 e$

Этап 7.3

При $x = 1$ производная имеет вид $3 e$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 2), (0, \infty)$

Убывание на: $(- 2, 0)$

Этап 9