Математический анализ Примеры

$f (x) = x \ln (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Этап 1.1.3.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1 + \ln (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\ln (x) = - 1$

Этап 2.3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Этап 2.4

Перепишем $\ln (x) = - 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Этап 2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Этап 2.5.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 4.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e}) \cup (\frac{1}{e}, \infty)$

Этап 6

Исключим интервалы, не входящие в область определения.

$(0, \frac{1}{e})$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \frac{1}{e})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.18393972$ .

$f' (0.18393972) = 1 + \ln (0.18393972)$

Этап 7.2

Окончательный ответ: $1 + \ln (0.18393972)$ .

$1 + \ln (0.18393972)$

Этап 7.3

Упростим.

$- 0.69314715$

Этап 7.4

При $x = 0.18393972$ производная имеет вид $- 0.69314715$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, \frac{1}{e})$ .

Убывание на $(0, \frac{1}{e})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Исключим интервалы, не входящие в область определения.

$(0, \frac{1}{e}), (\frac{1}{e}, \infty)$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(\frac{1}{e}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.36787945$ .

$f' (1.36787945) = 1 + \ln (1.36787945)$

Этап 9.2

Окончательный ответ: $1 + \ln (1.36787945)$ .

$1 + \ln (1.36787945)$

Этап 9.3

Упростим.

$1.31326169$

Этап 9.4

При $x = 1.36787945$ производная имеет вид $1.31326169$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(\frac{1}{e}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{1}{e}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(\frac{1}{e}, \infty)$

Убывание на: $(0, \frac{1}{e})$

Этап 11