Математический анализ Примеры

$c (t) = 3 t e^{- \frac{1}{30} t}$

Этап 1

Поскольку $t$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

Этап 2

Упростим $3 t e^{- \frac{1}{30} t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем.

$0 + 0 + 3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

Этап 2.2

Упростим путем добавления нулей.

$3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

Этап 2.3

Объединим $t$ и $\frac{1}{30}$ .

$3 t e^{- \frac{t}{30}} = c t$

Этап 3

Вычтем $c t$ из обеих частей уравнения.

$3 t e^{- \frac{t}{30}} - c t = 0$

Этап 4

Вынесем множитель $t$ из $3 t e^{- \frac{t}{30}} - c t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $t$ из $3 t e^{- \frac{t}{30}}$ .

$t (3 e^{- \frac{t}{30}}) - c t = 0$

Этап 4.2

Вынесем множитель $t$ из $- c t$ .

$t (3 e^{- \frac{t}{30}}) + t (- c) = 0$

Этап 4.3

Вынесем множитель $t$ из $t (3 e^{- \frac{t}{30}}) + t (- c)$ .

$t (3 e^{- \frac{t}{30}} - c) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t = 0$

$3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$

Этап 6

Приравняем $t$ к $0$ .

$t = 0$

Этап 7

Приравняем $3 e^{- \frac{t}{30}} - c$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $3 e^{- \frac{t}{30}} - c$ к $0$ .

$3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$

Этап 7.2

Решим $3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $c$ к обеим частям уравнения.

$3 e^{- \frac{t}{30}} = c$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $3 e^{- \frac{t}{30}} = c$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $3 e^{- \frac{t}{30}} = c$ на $3$ .

$\frac{3 e^{- \frac{t}{30}}}{3} = \frac{c}{3}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 e^{- \frac{t}{30}}}{3} = \frac{c}{3}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $e^{- \frac{t}{30}}$ на $1$ .

$e^{- \frac{t}{30}} = \frac{c}{3}$

Этап 7.2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- \frac{t}{30}}) = \ln (\frac{c}{3})$

Этап 7.2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Развернем $\ln (e^{- \frac{t}{30}})$ , вынося $- \frac{t}{30}$ из логарифма.

$- \frac{t}{30} \ln (e) = \ln (\frac{c}{3})$

Этап 7.2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- \frac{t}{30} \cdot 1 = \ln (\frac{c}{3})$

Этап 7.2.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{t}{30} = \ln (\frac{c}{3})$

Этап 7.2.5

Умножим обе части уравнения на $- 30$ .

$- 30 (- \frac{t}{30}) = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Этап 7.2.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Упростим $- 30 (- \frac{t}{30})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1.1

Сократим общий множитель $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{t}{30}$ в числитель.

$- 30 \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Этап 7.2.6.1.1.2

Вынесем множитель $30$ из $- 30$ .

$30 (- 1) \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Этап 7.2.6.1.1.3

Сократим общий множитель.

$30 \cdot - 1 \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Этап 7.2.6.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Этап 7.2.6.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Этап 7.2.6.1.2.2

Умножим $t$ на $1$ .

$t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $t (3 e^{- \frac{t}{30}} - c) = 0$ верно.

$t = 0$

$t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$