Математический анализ Примеры

$y = - x^{3} + x^{2} + 16 x$ , $y = 4 x$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$- x^{3} + x^{2} + 16 x = 4 x$

Этап 1.2

Решим $- x^{3} + x^{2} + 16 x = 4 x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$- x^{3} + x^{2} + 16 x - 4 x = 0$

Этап 1.2.1.2

Вычтем $4 x$ из $16 x$ .

$- x^{3} + x^{2} + 12 x = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3} + x^{2} + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + x^{2} + 12 x = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $- x$ из $x^{2}$ .

$- x \cdot x^{2} - x (- x) + 12 x = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $- x$ из $12 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x (- x) - x \cdot - 12 = 0$

Этап 1.2.2.1.4

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x^{2}) - x (- x)$ .

$- x (x^{2} - x) - x \cdot - 12 = 0$

Этап 1.2.2.1.5

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x^{2} - x) - x (- 12)$ .

$- x (x^{2} - x - 12) = 0$

Этап 1.2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Разложим $x^{2} - x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 1$ .

$- 4, 3 + y = 4 x$

Этап 1.2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- x ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- x (x - 4) (x + 3) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0 + y = 4 x$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 1.2.6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x (x - 4) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 0, 4, - 3$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 4 (0)$

Этап 1.3.2

Умножим $4$ на $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = 4 (4)$

Этап 1.4.2

Умножим $4$ на $4$ .

$y = 16$

Этап 1.5

Вычислим $y$ , когда $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подставим $- 3$ вместо $x$ .

$y = 4 (- 3)$

Этап 1.5.2

Умножим $4$ на $- 3$ .

$y = - 12$

Этап 1.6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(4, 16)$

$(- 3, - 12)$

$(0, 0)$

$(4, 16)$

$(- 3, - 12)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 3}^{0} 4 x d x - \int_{- 3}^{0} - x^{3} + x^{2} + 16 x d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 3$ и $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 3}^{0} 4 x - (- x^{3} + x^{2} + 16 x) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - - x^{3} - x^{2} - (16 x)$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $- - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 x + 1 x^{3} - x^{2} - (16 x)$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$4 x + x^{3} - x^{2} - (16 x)$

Этап 3.2.2.2

Умножим $16$ на $- 1$ .

$4 x + x^{3} - x^{2} - 16 x$

$\int_{- 3}^{0} 4 x + x^{3} - x^{2} - 16 x d x$

Этап 3.3

Вычтем $16 x$ из $4 x$ .

$\int_{- 3}^{0} x^{3} - x^{2} - 12 x d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{0} x^{3} d x + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} - 12 x d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} - 12 x d x$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} - \int_{- 3}^{0} x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} - 12 x d x$

Этап 3.7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} - 12 x d x$

Этап 3.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} - 12 x d x$

Этап 3.9

Поскольку $- 12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 12$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) - 12 \int_{- 3}^{0} x d x$

Этап 3.10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) - 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{0})$

Этап 3.11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0})$

Этап 3.11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $0$ и в $- 3$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0})$

Этап 3.11.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $0$ и в $- 3$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0})$

Этап 3.11.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 3$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.3

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 81 - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.4

Умножим $81$ на $- 1$ .

$0 - 81 (\frac{1}{4}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.5

Объединим $- 81$ и $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{- 81}{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - \frac{81}{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.7

Вычтем $\frac{81}{4}$ из $0$ .

$- \frac{81}{4} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{81}{4} - (\frac{0}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.9

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.9.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- \frac{81}{4} - (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{81}{4} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{81}{4} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{81}{4} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{81}{4} - (0 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.10

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$- \frac{81}{4} - (0 - \frac{- 27}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.11

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.11.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$- \frac{81}{4} - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{81}{4} - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{81}{4} - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{81}{4} - (0 - \frac{- 9}{1}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.11.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$- \frac{81}{4} - (0 - - 9) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.12

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$- \frac{81}{4} - (0 + 9) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.13

Добавим $0$ и $9$ .

$- \frac{81}{4} - 1 \cdot 9 - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.14

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- \frac{81}{4} - 9 - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.15

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4} - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.16

Объединим $- 9$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 81 - 9 \cdot 4}{4} - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.18.1

Умножим $- 9$ на $4$ .

$\frac{- 81 - 36}{4} - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.18.2

Вычтем $36$ из $- 81$ .

$\frac{- 117}{4} - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{117}{4} - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.20

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{117}{4} - 12 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.21

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.21.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{117}{4} - 12 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.21.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{117}{4} - 12 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.21.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{117}{4} - 12 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.21.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{117}{4} - 12 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.21.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{117}{4} - 12 (0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2})$

Этап 3.11.2.4.22

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- \frac{117}{4} - 12 (0 - \frac{9}{2})$

Этап 3.11.2.4.23

Вычтем $\frac{9}{2}$ из $0$ .

$- \frac{117}{4} - 12 (- \frac{9}{2})$

Этап 3.11.2.4.24

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$- \frac{117}{4} + 12 (\frac{9}{2})$

Этап 3.11.2.4.25

Объединим $12$ и $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{117}{4} + \frac{12 \cdot 9}{2}$

Этап 3.11.2.4.26

Умножим $12$ на $9$ .

$- \frac{117}{4} + \frac{108}{2}$

Этап 3.11.2.4.27

Сократим общий множитель $108$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.27.1

Вынесем множитель $2$ из $108$ .

$- \frac{117}{4} + \frac{2 \cdot 54}{2}$

Этап 3.11.2.4.27.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.27.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{117}{4} + \frac{2 \cdot 54}{2 (1)}$

Этап 3.11.2.4.27.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{117}{4} + \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 1}$

Этап 3.11.2.4.27.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{117}{4} + \frac{54}{1}$

Этап 3.11.2.4.27.2.4

Разделим $54$ на $1$ .

$- \frac{117}{4} + 54$

Этап 3.11.2.4.28

Чтобы записать $54$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{117}{4} + 54 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.11.2.4.29

Объединим $54$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{117}{4} + \frac{54 \cdot 4}{4}$

Этап 3.11.2.4.30

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 117 + 54 \cdot 4}{4}$

Этап 3.11.2.4.31

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.31.1

Умножим $54$ на $4$ .

$\frac{- 117 + 216}{4}$

Этап 3.11.2.4.31.2

Добавим $- 117$ и $216$ .

$\frac{99}{4}$

Этап 4

$A r e a = \int_{0}^{4} - x^{3} + x^{2} + 16 x d x - \int_{0}^{4} 4 x d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{4} - x^{3} + x^{2} + 16 x - (4 x) d x$

Этап 5.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int_{0}^{4} - x^{3} + x^{2} + 16 x - 4 x d x$

Этап 5.3

Вычтем $4 x$ из $16 x$ .

$\int_{0}^{4} - x^{3} + x^{2} + 12 x d x$

Этап 5.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{4} - x^{3} d x + \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} 12 x d x$

Этап 5.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} 12 x d x$

Этап 5.6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} 12 x d x$

Этап 5.7

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} 12 x d x$

Этап 5.8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} 12 x d x$

Этап 5.9

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + 12 \int_{0}^{4} x d x$

Этап 5.10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Этап 5.11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 5.11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $4$ и в $0$ .

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 5.11.2.2

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $4$ и в $0$ .

$- (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 5.11.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $0$ .

$- (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.4.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$- (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.2

Сократим общий множитель $256$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.2.2.4

Разделим $64$ на $1$ .

$- (64 - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (64 - \frac{0}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.4

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.4.4.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$- (64 - \frac{4 (0)}{4}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.4.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- (64 - \frac{0}{1}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (64 - 0) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (64 + 0) + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.6

Добавим $64$ и $0$ .

$- 1 \cdot 64 + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.7

Умножим $- 1$ на $64$ .

$- 64 + \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.8

Возведем $4$ в степень $3$ .

$- 64 + \frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $64$ .

$- 64 + \frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 64 + \frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0 + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.11

Умножим $0$ на $- 1$ .

$- 64 + \frac{64}{3} + 0 (\frac{1}{3}) + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.12

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$- 64 + \frac{64}{3} + 0 + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.13

Добавим $\frac{64}{3}$ и $0$ .

$- 64 + \frac{64}{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.14

Чтобы записать $- 64$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 64 \cdot \frac{3}{3} + \frac{64}{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.15

Объединим $- 64$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 64 \cdot 3}{3} + \frac{64}{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 64 \cdot 3 + 64}{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.4.17.1

Умножим $- 64$ на $3$ .

$\frac{- 192 + 64}{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.17.2

Добавим $- 192$ и $64$ .

$\frac{- 128}{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{128}{3} + 12 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.19

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.20

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.4.20.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.4.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.20.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{128}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.20.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{128}{3} + 12 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.20.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.11.2.4.21

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (8 - \frac{0}{2})$

Этап 5.11.2.4.22

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.4.22.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 5.11.2.4.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.4.22.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 5.11.2.4.22.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{128}{3} + 12 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 5.11.2.4.22.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{128}{3} + 12 (8 - \frac{0}{1})$

Этап 5.11.2.4.22.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (8 - 0)$

Этап 5.11.2.4.23

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{128}{3} + 12 (8 + 0)$

Этап 5.11.2.4.24

Добавим $8$ и $0$ .

$- \frac{128}{3} + 12 \cdot 8$

Этап 5.11.2.4.25

Умножим $12$ на $8$ .

$- \frac{128}{3} + 96$

Этап 5.11.2.4.26

Чтобы записать $96$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{128}{3} + 96 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.11.2.4.27

Объединим $96$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{128}{3} + \frac{96 \cdot 3}{3}$

Этап 5.11.2.4.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 128 + 96 \cdot 3}{3}$

Этап 5.11.2.4.29

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.4.29.1

Умножим $96$ на $3$ .

$\frac{- 128 + 288}{3}$

Этап 5.11.2.4.29.2

Добавим $- 128$ и $288$ .

$\frac{160}{3}$

Этап 6

Сложим площади $\frac{99}{4} + \frac{160}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $\frac{99}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{99}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{160}{3}$

Этап 6.2

Чтобы записать $\frac{160}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{99}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{160}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 6.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{99}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{99 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{160}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 6.3.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{99 \cdot 3}{12} + \frac{160}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 6.3.3

Умножим $\frac{160}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{99 \cdot 3}{12} + \frac{160 \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Этап 6.3.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{99 \cdot 3}{12} + \frac{160 \cdot 4}{12}$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{99 \cdot 3 + 160 \cdot 4}{12}$

Этап 6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $99$ на $3$ .

$\frac{297 + 160 \cdot 4}{12}$

Этап 6.5.2

Умножим $160$ на $4$ .

$\frac{297 + 640}{12}$

Этап 6.5.3

Добавим $297$ и $640$ .

$\frac{937}{12}$

Этап 7