Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} - e^{x} + \frac{5}{x} + 1$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} - e^{x} + \frac{5}{x} + 1 d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int - e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Этап 4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int - e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C$ .

$\arctan (x) + C + \int - e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\arctan (x) + C - \int e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Этап 7

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Этап 8

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + 5 \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + 5 (\ln (| x |) + C) + \int d x$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + 5 (\ln (| x |) + C) + x + C$

Этап 11

Упростим.

$\arctan (x) - e^{x} + 5 \ln (| x |) + x + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} - e^{x} + \frac{5}{x} + 1$ .

$F (x) =$ $\arctan (x) - e^{x} + 5 \ln (| x |) + x + C$