Математический анализ Примеры

$f (x) = x \ln (x)$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Этап 1.1.1.3.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

По правилу суммы производная $1 + \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.2.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Этап 1.1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{1}{x} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = x \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x > 0$

Этап 2.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(0, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(0, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{2}$

Этап 4.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 4.3

График вогнут вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (2)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 5