Математический анализ Примеры

$\frac{(x + 7) {(13 - 5 x)}^{4}}{{(1 - 4 x)}^{3} {(2 x + 11)}^{2}} \leq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 7 = 0$

${(13 - 5 x)}^{4} = 0$

${(1 - 4 x)}^{3} = 0$

${(2 x + 11)}^{2} = 0$

Этап 2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 3

Приравняем $13 - 5 x$ к $0$ .

$13 - 5 x = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x = - 13$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- 5 x = - 13$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 13$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 13}{- 5}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 13}{- 5}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 13}{- 5}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{13}{5}$

Этап 5

Приравняем $1 - 4 x$ к $0$ .

$1 - 4 x = 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x = - 1$

Этап 6.2

Разделим каждый член $- 4 x = - 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $- 4 x = - 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{4}$

Этап 7

Приравняем $2 x + 11$ к $0$ .

$2 x + 11 = 0$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 11$

Этап 8.2

Разделим каждый член $2 x = - 11$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 11$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 11}{2}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{11}{2}$

Этап 9

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 7$

$x = \frac{13}{5}$

$x = \frac{1}{4}$

$x = - \frac{11}{2}$

Этап 10

Объединим решения.

$x = - 7, \frac{13}{5}, \frac{1}{4}, - \frac{11}{2}$

Этап 11

Найдем область определения $\frac{(x + 7) {(13 - 5 x)}^{4}}{{(1 - 4 x)}^{3} {(2 x + 11)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x + 7) {(13 - 5 x)}^{4}}{{(1 - 4 x)}^{3} {(2 x + 11)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(1 - 4 x)}^{3} {(2 x + 11)}^{2} = 0$

Этап 11.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(1 - 4 x)}^{3} = 0$

${(2 x + 11)}^{2} = 0$

Этап 11.2.2

Приравняем ${(1 - 4 x)}^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Приравняем ${(1 - 4 x)}^{3}$ к $0$ .

${(1 - 4 x)}^{3} = 0$

Этап 11.2.2.2

Решим ${(1 - 4 x)}^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Приравняем $1 - 4 x$ к $0$ .

$1 - 4 x = 0$

Этап 11.2.2.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x = - 1$

Этап 11.2.2.2.2.2

Разделим каждый член $- 4 x = - 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.2.2.1

Разделим каждый член $- 4 x = - 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 11.2.2.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 11.2.2.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 11.2.2.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{4}$

Этап 11.2.3

Приравняем ${(2 x + 11)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Приравняем ${(2 x + 11)}^{2}$ к $0$ .

${(2 x + 11)}^{2} = 0$

Этап 11.2.3.2

Решим ${(2 x + 11)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.1

Приравняем $2 x + 11$ к $0$ .

$2 x + 11 = 0$

Этап 11.2.3.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.2.1

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 11$

Этап 11.2.3.2.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 11$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 11$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Этап 11.2.3.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Этап 11.2.3.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 11}{2}$

Этап 11.2.3.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{11}{2}$

Этап 11.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(1 - 4 x)}^{3} {(2 x + 11)}^{2} = 0$ верно.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{11}{2}$

Этап 11.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \frac{11}{2}) \cup (- \frac{11}{2}, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$

Этап 12

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 7$

$- 7 < x < - \frac{11}{2}$

$- \frac{11}{2} < x < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < x < \frac{13}{5}$

$x > \frac{13}{5}$

Этап 13

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проверим значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 13.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$\frac{((- 10) + 7) {(13 - 5 \cdot - 10)}^{4}}{{(1 - 4 \cdot - 10)}^{3} {(2 (- 10) + 11)}^{2}} \leq 0$

Этап 13.1.3

Левая часть $- 8.4653879$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 13.2

Проверим значение на интервале $- 7 < x < - \frac{11}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Выберем значение на интервале $- 7 < x < - \frac{11}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 13.2.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{((- 6) + 7) {(13 - 5 \cdot - 6)}^{4}}{{(1 - 4 \cdot - 6)}^{3} {(2 (- 6) + 11)}^{2}} \leq 0$

Этап 13.2.3

Левая часть $218.803264$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 13.3

Проверим значение на интервале $- \frac{11}{2} < x < \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Выберем значение на интервале $- \frac{11}{2} < x < \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 13.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{((0) + 7) {(13 - 5 \cdot 0)}^{4}}{{(1 - 4 \cdot 0)}^{3} {(2 (0) + 11)}^{2}} \leq 0$

Этап 13.3.3

Левая часть $1652.28925619$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 13.4

Проверим значение на интервале $\frac{1}{4} < x < \frac{13}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{4} < x < \frac{13}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 13.4.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\frac{((1) + 7) {(13 - 5 \cdot 1)}^{4}}{{(1 - 4 \cdot 1)}^{3} {(2 (1) + 11)}^{2}} \leq 0$

Этап 13.4.3

Левая часть $- 7.18124041$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 13.5

Проверим значение на интервале $x > \frac{13}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{13}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 13.5.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\frac{((5) + 7) {(13 - 5 \cdot 5)}^{4}}{{(1 - 4 \cdot 5)}^{3} {(2 (5) + 11)}^{2}} \leq 0$

Этап 13.5.3

Левая часть $- 0.08226343$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 13.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 7$ Истина

$- 7 < x < - \frac{11}{2}$ Ложь

$- \frac{11}{2} < x < \frac{1}{4}$ Ложь

$\frac{1}{4} < x < \frac{13}{5}$ Истина

$x > \frac{13}{5}$ Истина

$x < - 7$ Истина

$- 7 < x < - \frac{11}{2}$ Ложь

$- \frac{11}{2} < x < \frac{1}{4}$ Ложь

$\frac{1}{4} < x < \frac{13}{5}$ Истина

$x > \frac{13}{5}$ Истина

Этап 14

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 7$ или $\frac{1}{4} < x \leq \frac{13}{5}$ или $x \geq \frac{13}{5}$

Этап 15

Объединим интервалы.

$x \leq - 7 or x > \frac{1}{4}$

Этап 16

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 7] \cup (\frac{1}{4}, \infty)$

Этап 17