Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} e^{x}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Изменим порядок членов.

$f' (x) = e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4} e^{x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

$f'' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Этап 1.2.2.2

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Этап 1.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3} e^{x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x})$

Этап 1.2.3.2

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 1.2.3.3

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x}) + 4 (e^{x} (3 x^{2}))$

Этап 1.2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 x^{3} e^{x} + 12 (e^{x} (x^{2}))$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $e^{x} (4 x^{3})$ и $4 x^{3} e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Добавим $4 x^{3} e^{x}$ и $4 x^{3} e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Этап 1.2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$

Этап 1.2.4.4

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ .

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x^{2} e^{x}$ из $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2} e^{x}$ из $x^{4} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2} e^{x}$ из $8 x^{3} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $x^{2} e^{x}$ из $12 x^{2} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $x^{2} e^{x}$ из $x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x)$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $x^{2} e^{x}$ из $x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12)$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x + 12) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} + 8 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $8$ .

$2, 6$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x^{2} e^{x} ((x + 2) (x + 6)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 2.5.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 2.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.5.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 2.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.7

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 2.7.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, - 6$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = x^{4} e^{x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} e^{0}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Этап 3.1.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Этап 3.1.2.3

Умножим $0$ на $1$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = x^{4} e^{x}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 3.3

Подставим $- 2$ в $f (x) = x^{4} e^{x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} e^{- 2}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f (- 2) = 16 e^{- 2}$

Этап 3.3.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 16 (\frac{1}{e^{2}})$

Этап 3.3.2.3

Объединим $16$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{16}{e^{2}}$

Этап 3.3.2.4

Окончательный ответ: $\frac{16}{e^{2}}$ .

$\frac{16}{e^{2}}$

Этап 3.4

Подставляя $- 2$ в $f (x) = x^{4} e^{x}$ , найдем точку $(- 2, \frac{16}{e^{2}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 2, \frac{16}{e^{2}})$

Этап 3.5

Подставим $- 6$ в $f (x) = x^{4} e^{x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f (- 6) = {(- 6)}^{4} e^{- 6}$

Этап 3.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Возведем $- 6$ в степень $4$ .

$f (- 6) = 1296 e^{- 6}$

Этап 3.5.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 6) = 1296 (\frac{1}{e^{6}})$

Этап 3.5.2.3

Объединим $1296$ и $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f (- 6) = \frac{1296}{e^{6}}$

Этап 3.5.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1296}{e^{6}}$ .

$\frac{1296}{e^{6}}$

Этап 3.6

Подставляя $- 6$ в $f (x) = x^{4} e^{x}$ , найдем точку $(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

Этап 3.7

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (- 2, \frac{16}{e^{2}}), (- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 6)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = {(- 6.1)}^{4} e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 6.1$ в степень $4$ .

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Этап 5.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 (\frac{1}{e^{6.1}}) + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Этап 5.2.1.3

Объединим $1384.5841$ и $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{e^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Этап 5.2.1.4

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{{2.71828182}^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Этап 5.2.1.5

Возведем $2.71828182$ в степень $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{445.85777008} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Этап 5.2.1.6

Разделим $1384.5841$ на $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Этап 5.2.1.7

Возведем $- 6.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 \cdot (- 226.981 e^{- 6.1}) + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Этап 5.2.1.8

Умножим $8$ на $- 226.981$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Этап 5.2.1.9

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 \frac{1}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Этап 5.2.1.10

Объединим $- 1815.848$ и $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + \frac{- 1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Этап 5.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Этап 5.2.1.12

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{{2.71828182}^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Этап 5.2.1.13

Возведем $2.71828182$ в степень $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{445.85777008} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Этап 5.2.1.14

Разделим $1815.848$ на $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1 \cdot 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Этап 5.2.1.15

Умножим $- 1$ на $4.07270686$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Этап 5.2.1.16

Возведем $- 6.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 \cdot (37.21 e^{- 6.1})$

Этап 5.2.1.17

Умножим $12$ на $37.21$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 e^{- 6.1}$

Этап 5.2.1.18

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 (\frac{1}{e^{6.1}})$

Этап 5.2.1.19

Объединим $446.52$ и $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{e^{6.1}}$

Этап 5.2.1.20

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{{2.71828182}^{6.1}}$

Этап 5.2.1.21

Возведем $2.71828182$ в степень $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{445.85777008}$

Этап 5.2.1.22

Разделим $446.52$ на $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 1.00148529$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $4.07270686$ из $3.10543898$ .

$f'' (- 6.1) = - 0.96726787 + 1.00148529$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 0.96726787$ и $1.00148529$ .

$f'' (- 6.1) = 0.03421741$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $0.03421741$ .

$0.03421741$

Этап 5.3

При $- 6.1$ вторая производная имеет вид $0.03421741$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 6)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 6)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 6, - 2)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{4} e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$f'' (- 4) = 256 e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Этап 6.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = 256 (\frac{1}{e^{4}}) + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Этап 6.2.1.3

Объединим $256$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Этап 6.2.1.4

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 \cdot (- 64 e^{- 4}) + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Этап 6.2.1.5

Умножим $8$ на $- 64$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Этап 6.2.1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 \frac{1}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Этап 6.2.1.7

Объединим $- 512$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + \frac{- 512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Этап 6.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Этап 6.2.1.9

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 \cdot (16 e^{- 4})$

Этап 6.2.1.10

Умножим $12$ на $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 e^{- 4}$

Этап 6.2.1.11

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 (\frac{1}{e^{4}})$

Этап 6.2.1.12

Объединим $192$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + \frac{192}{e^{4}}$

Этап 6.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- 4) = \frac{256 - 512 + 192}{e^{4}}$

Этап 6.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Вычтем $512$ из $256$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 256 + 192}{e^{4}}$

Этап 6.2.2.2.2

Добавим $- 256$ и $192$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 64}{e^{4}}$

Этап 6.2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{64}{e^{4}}$ .

$- \frac{64}{e^{4}}$

Этап 6.3

При $- 4$ вторая производная имеет вид $- 1.17220088$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 6, - 2)$ .

Убывание на $(- 6, - 2)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 2, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f'' (- 1) = {(- 1)}^{4} e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f'' (- 1) = 1 e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $e^{- 1}$ на $1$ .

$f'' (- 1) = e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Этап 7.2.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Этап 7.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 \cdot (- 1 e^{- 1}) + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Этап 7.2.1.5

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Этап 7.2.1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 \frac{1}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Этап 7.2.1.7

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{e}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + \frac{- 8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Этап 7.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Этап 7.2.1.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 \cdot (1 e^{- 1})$

Этап 7.2.1.10

Умножим $12$ на $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 e^{- 1}$

Этап 7.2.1.11

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 (\frac{1}{e})$

Этап 7.2.1.12

Объединим $12$ и $\frac{1}{e}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + \frac{12}{e}$

Этап 7.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- 1) = \frac{1 - 8 + 12}{e}$

Этап 7.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Вычтем $8$ из $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 7 + 12}{e}$

Этап 7.2.2.2.2

Добавим $- 7$ и $12$ .

$f'' (- 1) = \frac{5}{e}$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $\frac{5}{e}$ .

$\frac{5}{e}$

Этап 7.3

При $- 1$ вторая производная имеет вид $1.8393972$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 2, 0)$ .

Возрастание в области $(- 2, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = {(0.1)}^{4} e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $0.1$ в степень $4$ .

$f'' (0.1) = 0.0001 e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $0.0001$ на $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $0.1$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 \cdot (0.001 e^{0.1}) + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Этап 8.2.1.4

Умножим $8$ на $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.008 e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Этап 8.2.1.5

Умножим $0.008$ на $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Этап 8.2.1.6

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 \cdot (0.01 e^{0.1})$

Этап 8.2.1.7

Умножим $12$ на $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.12 e^{0.1}$

Этап 8.2.1.8

Умножим $0.12$ на $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.13262051$

Этап 8.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $0.00011051$ и $0.00884136$ .

$f'' (0.1) = 0.00895188 + 0.13262051$

Этап 8.2.2.2

Добавим $0.00895188$ и $0.13262051$ .

$f'' (0.1) = 0.14157239$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $0.14157239$ .

$0.14157239$

Этап 8.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $0.14157239$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$ .

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$

Этап 10