Математический анализ Примеры

$y = \frac{3}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Запишем $y = \frac{3}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{3}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $\frac{3}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $\frac{3}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Этап 2.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Этап 2.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Этап 2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Этап 2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Этап 2.1.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Этап 2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Этап 2.1.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Этап 2.1.9

Перенесем ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Этап 2.1.10

Умножим $\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{3}{5}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 3}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Этап 2.1.11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{6}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Этап 2.1.11.2

Умножим $5$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{6}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Этап 2.1.12

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f' (x) = \frac{3 (2)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Этап 2.1.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Вынесем множитель $3$ из $15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (2)}{3 (5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Этап 2.1.13.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Этап 2.1.13.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Этап 2.1.14

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Этап 2.1.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Этап 2.1.16

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Этап 2.1.17

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.17.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x)$

Этап 2.1.17.2

Объединим $2$ и $\frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Этап 2.1.17.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Этап 2.1.17.4

Объединим $\frac{4}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{4}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Этап 2.2.3.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.3.3

Умножим ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.8.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.9.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.9.3

Перенесем ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.9.4

Объединим $\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.10

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.13.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.13.3

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.13.4

Объединим $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.17

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{(2) x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.19

Чтобы записать ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.20

Объединим ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.22

Умножим ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.22.1

Перенесем ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.22.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.22.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.22.4

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.22.5

Разделим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 1) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.23

Упростим ${(x^{2} - 1)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 1) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.24

Перенесем $3$ влево от $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.25

Перепишем $\frac{\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.2.26

Умножим $\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ на $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.27

Умножим ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.27.1

Перенесем ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 2.2.27.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.27.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Этап 2.2.27.4

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.28

Умножим $\frac{4}{5}$ на $\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2})}{5 (3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 2.2.29

Умножим $3$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.30.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 1 - 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 1) + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.30.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.30.3.1.1

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 1) + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.3.1.2

Умножим $4 (3 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.30.3.1.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 3 + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.3.1.2.2

Умножим $4$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 12 + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.3.1.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 12 - 8 x^{2}}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.3.2

Вычтем $8 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 12}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.30.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 12}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.4.2

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 3}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4 \cdot - 3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 (x^{2} - 3) = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $4 (x^{2} - 3) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Разделим каждый член $4 (x^{2} - 3) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 3.3.1.2.1.2

Разделим $x^{2} - 3$ на $1$ .

$x^{2} - 3 = \frac{0}{4}$

Этап 3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Этап 3.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 3$

Этап 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Этап 3.3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3}$

Этап 3.3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 3.3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(\sqrt{3})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.1.5

Найдем экспоненту.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вычтем $1$ из $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.2.2

Объединим $\frac{3}{5}$ и $2^{\frac{2}{3}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

Этап 4.2

Подставляя $\sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ , найдем точку $(\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

Этап 4.3

Подставим $- \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(- \sqrt{3})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(1 {\sqrt{3}}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим ${\sqrt{3}}^{2}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({\sqrt{3}}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.1.4.5

Найдем экспоненту.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вычтем $1$ из $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.2.2

Объединим $\frac{3}{5}$ и $2^{\frac{2}{3}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

Этап 4.4

Подставляя $- \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ , найдем точку $(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}), (- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \sqrt{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.8320508$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{15 {({(- 1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1.8320508$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 (3.35641016 - 3)}{15 {({(- 1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $3$ из $3.35641016$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {({(- 1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 1.8320508$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {(3.35641016 - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $1$ из $3.35641016$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot {2.35641016}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $2.35641016$ в степень $\frac{4}{3}$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot 3.13570007}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $4$ на $0.35641016$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{1.42564064}{15 \cdot 3.13570007}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $15$ на $3.13570007$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{1.42564064}{47.03550106}$

Этап 6.2.3.3

Разделим $1.42564064$ на $47.03550106$ .

$f'' (- 1.8320508) = 0.03030988$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $0.03030988$ .

$0.03030988$

Этап 6.3

При $- 1.8320508$ вторая производная имеет вид $0.03030988$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \sqrt{3})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 ({(0)}^{2} - 3)}{15 {({(0)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 (0 - 3)}{15 {(0^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(0^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(0 - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.2.3

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Этап 7.2.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Этап 7.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{4}}$

Этап 7.2.2.6

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 \cdot 1}$

Этап 7.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $4$ на $- 3$ .

$f'' (0) = \frac{- 12}{15 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $15$ на $1$ .

$f'' (0) = \frac{- 12}{15}$

Этап 7.2.3.3

Сократим общий множитель $- 12$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$f'' (0) = \frac{3 (- 4)}{15}$

Этап 7.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 5}$

Этап 7.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 5}$

Этап 7.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{- 4}{5}$

Этап 7.2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (0) = - \frac{4}{5}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{4}{5}$ .

$- \frac{4}{5}$

Этап 7.3

При $0$ вторая производная имеет вид $- 0.8$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ .

Убывание на $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(\sqrt{3}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.8320508$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{15 {({(1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $1.8320508$ в степень $2$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 (3.35641016 - 3)}{15 {({1.8320508}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2.1.2

Вычтем $3$ из $3.35641016$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {({1.8320508}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $1.8320508$ в степень $2$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {(3.35641016 - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $1$ из $3.35641016$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot {2.35641016}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2.2.3

Возведем $2.35641016$ в степень $\frac{4}{3}$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot 3.13570007}$

Этап 8.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Умножим $4$ на $0.35641016$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.42564064}{15 \cdot 3.13570007}$

Этап 8.2.3.2

Умножим $15$ на $3.13570007$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.42564064}{47.03550106}$

Этап 8.2.3.3

Разделим $1.42564064$ на $47.03550106$ .

$f'' (1.8320508) = 0.03030988$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $0.03030988$ .

$0.03030988$

Этап 8.3

При $1.8320508$ вторая производная имеет вид $0.03030988$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\sqrt{3}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}), (\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$ .

$(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}), (\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

Этап 10