Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}}{x^{3}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 16 e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.2

Вынесем член $16$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{16 lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{16 e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.4

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.5

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.7

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - \frac{1}{2} lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.9

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$\frac{16 e^{0} - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.10.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{16 \cdot 1 - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.10.1.3

Умножим $16$ на $1$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.10.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{16 - 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.10.1.5

Умножим $- 4$ на $0$ .

$\frac{16 - 16 + 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.10.1.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{16 - 16 + 0 - \frac{1}{2} \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.10.1.7

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{16 - 16 + 0 + 0 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.10.1.7.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{16 - 16 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.10.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.10.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.10.4

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Этап 1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 e^{\frac{x}{4}}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.3.3

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.3.5

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4}) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.3.6

Объединим $e^{\frac{x}{4}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.3.7

Объединим $16$ и $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{16 e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.3.8

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Вынесем множитель $4$ из $16 e^{\frac{x}{4}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 (4 e^{\frac{x}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 (4 e^{\frac{x}{4}})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 (4 e^{\frac{x}{4}})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 e^{\frac{x}{4}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.3.8.2.4

Разделим $4 e^{\frac{x}{4}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.5.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{2} x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - \frac{1}{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.6.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - 2 (\frac{1}{2}) x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.6.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{- 2}{2} x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.6.5

Объединим $\frac{- 2}{2}$ и $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{- 2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.6.6

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{2 (- x)}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.6.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{2 (- x)}{2 (1)}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.6.6.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.6.6.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{- x}{1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.6.6.2.4

Разделим $- x$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $4 e^{\frac{x}{4}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} - 4 - x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.7.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{3 x^{2}}$

Этап 4

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{x^{2}}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4 e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 5.1.2.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 5.1.2.4

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 5.1.2.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 5.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 5.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 5.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.7.1.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 e^{0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 5.1.2.7.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 5.1.2.7.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 5.1.2.7.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 - 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 5.1.2.7.2

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 5.1.2.7.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 5.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 5.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Этап 5.1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 5.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.2

По правилу суммы производная $- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 e^{\frac{x}{4}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.4.2.2

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.4.3

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.4.5

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.4.6

Объединим $e^{\frac{x}{4}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.4.7

Объединим $4$ и $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \frac{4 e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.4.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \frac{4 e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.4.8.2

Разделим $e^{\frac{x}{4}}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.6

Добавим $- 1 + e^{\frac{x}{4}}$ и $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{2 x}$

Этап 6

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{x}$

Этап 7

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - 1 + e^{\frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 7.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 7.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 7.1.2.1.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 7.1.2.1.4

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 7.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{\frac{1}{4} \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 7.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.3.1.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 7.1.2.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 7.1.2.3.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 7.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Этап 7.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Этап 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 7.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 7.3.2

По правилу суммы производная $- 1 + e^{\frac{x}{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 7.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 7.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 7.3.4.1.2

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 7.3.4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 7.3.4.2

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 7.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 7.3.4.4

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 7.3.4.5

Объединим $e^{\frac{x}{4}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 7.3.5

Добавим $0$ и $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 7.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}{1}$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1$

Этап 7.5

Умножим $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}}$

Этап 8.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}}$

Этап 8.3

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x}$

Этап 9

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Этап 10.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Этап 10.2

Умножим $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Этап 10.2.2

Умножим $6$ на $4$ .

$\frac{1}{24} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Этап 10.3

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$\frac{1}{24} e^{0}$

Этап 10.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{24} \cdot 1$

Этап 10.5

Умножим $\frac{1}{24}$ на $1$ .

$\frac{1}{24}$