Математический анализ Примеры

$y = \frac{5}{x}$ ; $[1, 10]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\frac{5}{x} = 0$

Этап 1.2

Решим $\frac{5}{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$5 = 0$

Этап 1.2.2

Поскольку $5 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{10} \frac{5}{x} d x - \int_{1}^{10} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{10} \frac{5}{x} - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $\frac{5}{x}$ .

$\int_{1}^{10} \frac{5}{x} d x$

Этап 3.3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{1}^{10} \frac{1}{x} d x$

Этап 3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$5 (\ln (| x |)]_{1}^{10})$

Этап 3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $10$ и в $1$ .

$5 (\ln (| 10 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 3.5.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 \ln (\frac{| 10 |}{| 1 |})$

Этап 3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $10$ равно $10$ .

$5 \ln (\frac{10}{| 1 |})$

Этап 3.5.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$5 \ln (\frac{10}{1})$

Этап 3.5.3.3

Разделим $10$ на $1$ .

$5 \ln (10)$

Этап 4

Сложим площади $5 \ln (10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $5 \ln (10)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\ln (10^{5})$

Этап 4.2

Возведем $10$ в степень $5$ .

$\ln (100000)$

Этап 5