Математический анализ Примеры

$y = 4 x^{2}$ ; $y = 36$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$4 x^{2} = 36$

Этап 1.2

Решим $4 x^{2} = 36$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = 36$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = 36$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{36}{4}$

Этап 1.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{36}{4}$

Этап 1.2.1.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{36}{4}$

Этап 1.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Разделим $36$ на $4$ .

$x^{2} = 9$

Этап 1.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 1.2.3

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 1.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 1.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 1.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 1.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 1.3

Подставим $3$ вместо $x$ .

$y = 36$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(3, 36)$

$(- 3, 36)$

$(3, 36)$

$(- 3, 36)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 3}^{3} 36 d x - \int_{- 3}^{3} 4 x^{2} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 3}^{3} 36 - (4 x^{2}) d x$

Этап 3.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int_{- 3}^{3} 36 - 4 x^{2} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{3} 36 d x + \int_{- 3}^{3} - 4 x^{2} d x$

Этап 3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$36 x]_{- 3}^{3} + \int_{- 3}^{3} - 4 x^{2} d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$36 x]_{- 3}^{3} - 4 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$36 x]_{- 3}^{3} - 4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3})$

Этап 3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$36 x]_{- 3}^{3} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3})$

Этап 3.7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Найдем значение $36 x$ в $3$ и в $- 3$ .

$(36 \cdot 3) - 36 \cdot - 3 - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3})$

Этап 3.7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $- 3$ .

$36 \cdot 3 - 36 \cdot - 3 - 4 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.1

Умножим $36$ на $3$ .

$108 - 36 \cdot - 3 - 4 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.2

Умножим $- 36$ на $- 3$ .

$108 + 108 - 4 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.3

Добавим $108$ и $108$ .

$216 - 4 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$216 - 4 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.5

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.5.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$216 - 4 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$216 - 4 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$216 - 4 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$216 - 4 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.5.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$216 - 4 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.7.2.3.6

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$216 - 4 (9 - \frac{- 27}{3})$

Этап 3.7.2.3.7

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$216 - 4 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3})$

Этап 3.7.2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$216 - 4 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})$

Этап 3.7.2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$216 - 4 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})$

Этап 3.7.2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$216 - 4 (9 - \frac{- 9}{1})$

Этап 3.7.2.3.7.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$216 - 4 (9 - - 9)$

Этап 3.7.2.3.8

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$216 - 4 (9 + 9)$

Этап 3.7.2.3.9

Добавим $9$ и $9$ .

$216 - 4 \cdot 18$

Этап 3.7.2.3.10

Умножим $- 4$ на $18$ .

$216 - 72$

Этап 3.7.2.3.11

Вычтем $72$ из $216$ .

$144$

Этап 4