Математический анализ Примеры

$y = \frac{3}{x}$ , $y = 12 x$ , $y = \frac{1}{3} x$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\frac{3}{x} = 12 x$

Этап 1.2

Решим $\frac{3}{x} = 12 x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1 + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.2

Каждый член в $\frac{3}{x} = 12 x$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим каждый член $\frac{3}{x} = 12 x$ на $x$ .

$\frac{3}{x} \cdot x = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{x} \cdot x = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1

Перенесем $x$ .

$3 = 12 (x \cdot x) + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.2.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 = 12 x^{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x^{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x^{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x^{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем уравнение в виде $12 x^{2} = 3$ .

$12 x^{2} = 3 + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.3.2

Разделим каждый член $12 x^{2} = 3$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Разделим каждый член $12 x^{2} = 3$ на $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Сократим общий множитель $3$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$x^{2} = \frac{3 (1)}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.3.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$x^{2} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.3.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.3.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.3.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.3.4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.3.4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \pm \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \pm \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $\frac{1}{2}$ вместо $x$ .

$y = 12 (\frac{1}{2}) y = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2})$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$y = 2 (6) \frac{1}{2}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y = 2 \cdot 6 \frac{1}{2}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y = 6$

Этап 1.4

Подставим $\frac{1}{2}$ вместо $x$ в $y = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2})$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.4.2

Умножим $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{3 \cdot 2}$

Этап 1.4.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \frac{1}{6}$

Этап 1.5

Вычислим $y$ , когда $x = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подставим $- \frac{1}{2}$ вместо $x$ .

$y = 12 (- \frac{1}{2}) y = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{2})$

Этап 1.5.2

Упростим $12 (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$y = 12 (\frac{- 1}{2})$

Этап 1.5.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$y = 2 (6) \frac{- 1}{2}$

Этап 1.5.2.1.3

Сократим общий множитель.

$y = 2 \cdot 6 \frac{- 1}{2}$

Этап 1.5.2.1.4

Перепишем это выражение.

$y = 6 \cdot - 1$

Этап 1.5.2.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$y = - 6$

Этап 1.6

Подставим $- \frac{1}{2}$ вместо $x$ в $y = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{2})$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{3} \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$

Этап 1.6.2

Упростим $\frac{1}{3} \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Перепишем $- 1 (\frac{1}{2})$ в виде $- (\frac{1}{2})$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot (- (\frac{1}{2}))$

Этап 1.6.2.2

Умножим $\frac{1}{3} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{3 \cdot 2}$

Этап 1.6.2.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y = - \frac{1}{6}$

Этап 1.7

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{6})$

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{6})$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 12 x d x - \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 12 x - (\frac{3}{x}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $\frac{3}{x}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 12 x - \frac{3}{x} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 12 x d x + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x} d x$

Этап 3.4

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} x d x + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x} d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x} d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x} d x$

Этап 3.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x} d x$

Этап 3.8

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - (3 \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.9

Умножим $3$ на $- 1$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - 3 \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x$

Этап 3.10

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - 3 (\ln (| x |)]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3.11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $\frac{1}{2}$ и в $- \frac{1}{2}$ .

$12 ((\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| x |)]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3.11.1.2

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $\frac{1}{2}$ и в $- \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- (\frac{1}{2}))}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3.2

Применим правило умножения к $- (\frac{1}{2})$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3.4

Умножим ${(\frac{1}{2})}^{2}$ на $1$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$12 \frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.3.6.1

Разделим $1$ на $2$ .

$12 \frac{{0.5}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3.6.2

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$12 \frac{0.25 - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3.6.3

Разделим $1$ на $2$ .

$12 \frac{0.25 - {0.5}^{2}}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3.6.4

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$12 \frac{0.25 - 1 \cdot 0.25}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3.6.5

Умножим $- 1$ на $0.25$ .

$12 \frac{0.25 - 0.25}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3.6.6

Вычтем $0.25$ из $0.25$ .

$12 (\frac{0}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3.7

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$12 \frac{2 \cdot 0}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$12 \frac{2 \cdot 0}{2 (1)} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$12 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$12 (\frac{0}{1}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3.7.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$12 \cdot 0 - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3.8

Умножим $12$ на $0$ .

$0 - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.1.3.9

Вычтем $3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$ из $0$ .

$- 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Этап 3.11.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 3 \ln (\frac{| \frac{1}{2} |}{| - \frac{1}{2} |})$

Этап 3.11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$- 3 \ln (\frac{\frac{1}{2}}{| - \frac{1}{2} |})$

Этап 3.11.3.2

$- \frac{1}{2}$ приблизительно равно $- 0.5$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \frac{1}{2}$ и вычтем абсолютное значение.

$- 3 \ln (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}})$

Этап 3.11.3.3

Сократим общий множитель $\frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.3.1

Сократим общий множитель.

$- 3 \ln (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}})$

Этап 3.11.3.3.2

Перепишем это выражение.

$- 3 \ln (1)$

Этап 3.11.3.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$- 3 \cdot 0$

Этап 3.11.3.5

Умножим $- 3$ на $0$ .

$0$

Этап 4