Математический анализ Примеры

$- 2 \cos (\sqrt{t}) + \frac{1}{2} t$

Этап 1

По правилу суммы производная $- 2 \cos (\sqrt{t}) + \frac{1}{2} t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [- 2 \cos (\sqrt{t})] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$ .

$\frac{d}{d t} [- 2 \cos (\sqrt{t})] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 2 \cos (\sqrt{t})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [- 2 \cos (t^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2 \cos (t^{\frac{1}{2}})$ по $t$ равна $- 2 \frac{d}{d t} [\cos (t^{\frac{1}{2}})]$ .

$- 2 \frac{d}{d t} [\cos (t^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \cos (t)$ и $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.3.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- 2 (- \sin (u) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.11

Объединим $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $\sin (t^{\frac{1}{2}})$ .

$- 2 (- \frac{t^{- \frac{1}{2}} \sin (t^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.12

Перенесем $t^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- \frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.13

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.14

Объединим $2$ и $\frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \sin (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.15

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 2.16

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{1}{2} t$ по $t$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2}$