Математический анализ Примеры

$10 + (0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $10 + (0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$ .

$\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$

Этап 1.2

Поскольку $10$ является константой относительно $t$ , производная $10$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $0.8$ является константой относительно $t$ , производная $(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})$ по $t$ равна $0.8 \frac{d}{d t} [(t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$ .

$0 + 0.8 \frac{d}{d t} [(t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = \sin (\frac{t^{3}}{100})$ .

$0 + 0.8 (t \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t^{3}}{100})] + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \sin (t)$ и $g (t) = \frac{t^{3}}{100}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{t^{3}}{100}$ .

$0 + 0.8 (t (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{100}]) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{100}]) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{t^{3}}{100}$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{100}]) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Этап 2.4

Поскольку $\frac{1}{100}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{t^{3}}{100}$ по $t$ равна $\frac{1}{100} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{1}{100} \frac{d}{d t} [t^{3}])) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{1}{100} (3 t^{2}))) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{1}{100} (3 t^{2}))) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Этап 2.7

Объединим $3$ и $\frac{1}{100}$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{3}{100} t^{2})) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Этап 2.8

Объединим $\frac{3}{100}$ и $t^{2}$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \frac{3 t^{2}}{100}) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Этап 2.9

Объединим $\cos (\frac{t^{3}}{100})$ и $\frac{3 t^{2}}{100}$ .

$0 + 0.8 (t \frac{\cos (\frac{t^{3}}{100}) (3 t^{2})}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Этап 2.10

Объединим $t$ и $\frac{\cos (\frac{t^{3}}{100}) (3 t^{2})}{100}$ .

$0 + 0.8 (\frac{t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (3 t^{2}))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Этап 2.11

Возведем $t$ в степень $1$ .

$0 + 0.8 (\frac{t^{2} t^{1} (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \cdot (3))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Этап 2.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 + 0.8 (\frac{t^{2 + 1} (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \cdot (3))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Этап 2.13

Добавим $2$ и $1$ .

$0 + 0.8 (\frac{t^{3} (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \cdot (3))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Этап 2.14

Перенесем $3$ влево от $\cos (\frac{t^{3}}{100})$ .

$0 + 0.8 (\frac{t^{3} (3 \cdot \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Этап 2.15

Умножим $\sin (\frac{t^{3}}{100})$ на $1$ .

$0 + 0.8 (\frac{t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}))$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 + 0.8 \frac{t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Этап 3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $0.8$ и $\frac{t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100}$ .

$0 + \frac{0.8 (t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100})))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Этап 3.2.2

Умножим $3$ на $0.8$ .

$0 + \frac{2.4 (t^{3} (\cos (\frac{t^{3}}{100})))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\frac{2.4 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$ .

$\frac{2.4 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $2.4$ из $2.4 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})$ .

$\frac{2.4 (t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $100$ из $100$ .

$\frac{2.4 (t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100 (1)} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Этап 3.3.3

Разделим дроби.

$\frac{2.4}{100} \cdot \frac{t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{1} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Этап 3.3.4

Разделим $2.4$ на $100$ .

$0.024 \frac{t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{1} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Этап 3.3.5

Разделим $t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})$ на $1$ .

$0.024 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100}) + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$