Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{2}{5}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Этап 1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}}$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}}$

Этап 1.5.2

Вычтем $5$ из $2$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}}$

Этап 1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}}$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$

Этап 1.7.2

Умножим $\frac{2}{5}$ на $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{3}{5}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{2}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{5 x^{\frac{3}{5}}}$ по $x$ равна $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}})$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ в виде ${(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1})$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{5} \cdot - 1})$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Объединим $\frac{3}{5}$ и $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3 \cdot - 1}{5}})$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 3}{5}})$

Этап 2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{2}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{3}{5}})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{3}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{5} \cdot (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} - 1})$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{5} \cdot (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{5} \cdot (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{2}{5} \cdot (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{2}{5} \cdot (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 3 - 5}{5}})$

Этап 2.7.2

Вычтем $5$ из $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{5} \cdot (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 8}{5}})$

Этап 2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{2}{5} \cdot (- \frac{3}{5} x^{- \frac{8}{5}})$

Этап 2.9

Объединим $x^{- \frac{8}{5}}$ и $\frac{3}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5})$

Этап 2.10

Умножим $\frac{2}{5}$ на $\frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3)}{5 \cdot 5}$

Этап 2.11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{6 x^{- \frac{8}{5}}}{5 \cdot 5}$

Этап 2.11.2

Умножим $5$ на $5$ .

$f'' (x) = - \frac{6 x^{- \frac{8}{5}}}{25}$

Этап 2.11.3

Перенесем $x^{- \frac{8}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{25 x^{\frac{8}{5}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{2}{5 x^{\frac{3}{5}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$f' (x) = \frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Этап 4.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}}$

Этап 4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f' (x) = \frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}}$

Этап 4.1.5.2

Вычтем $5$ из $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}}$

Этап 4.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$

Этап 4.1.7.2

Умножим $\frac{2}{5}$ на $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 x^{\frac{3}{5}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{5 x^{\frac{3}{5}}}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{3}{5}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{5 x^{\frac{3}{5}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{3}{5}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 5.3

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{2}{5 \sqrt[5]{x^{3}}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{2}{5 \sqrt[5]{x^{3}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 \sqrt[5]{x^{3}} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $5$ .

${(5 \sqrt[5]{x^{3}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{3}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${(5 x^{\frac{3}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $5 x^{\frac{3}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{3}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Возведем $5$ в степень $5$ .

$3125 {(x^{\frac{3}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{3}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$3125 x^{\frac{3}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$3125 x^{3} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3125 x^{3} = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим каждый член $3125 x^{3} = 0$ на $3125$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Разделим каждый член $3125 x^{3} = 0$ на $3125$ .

$\frac{3125 x^{3}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Этап 6.3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $3125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3125 x^{3}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Этап 6.3.3.1.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{3125}$

Этап 6.3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $3125$ .

$x^{3} = 0$

Этап 6.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 6.3.3.3

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 6.3.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{6}{25 {(0)}^{\frac{8}{5}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$- \frac{6}{25 {(0^{5})}^{\frac{8}{5}}}$

Этап 9.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6}{25 \cdot 0^{5 (\frac{8}{5})}}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{6}{25 \cdot 0^{5 (\frac{8}{5})}}$

Этап 9.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{6}{25 \cdot 0^{8}}$

Этап 9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{6}{25 \cdot 0}$

Этап 9.3.2

Умножим $25$ на $0$ .

$- \frac{6}{0}$

Этап 9.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{6}{0}$

Этап 9.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $\frac{2}{5 x^{\frac{3}{5}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{2}{5 {(- 2)}^{\frac{3}{5}}}$

Этап 10.2.2

Окончательный ответ: $\frac{2}{5 {(- 2)}^{\frac{3}{5}}}$ .

$\frac{2}{5 {(- 2)}^{\frac{3}{5}}}$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $\frac{2}{5 x^{\frac{3}{5}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{2}{5 {(2)}^{\frac{3}{5}}}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Перенесем ${(2)}^{\frac{3}{5}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Этап 10.3.2.2

Умножим $2$ на $2^{- \frac{3}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Умножим $2$ на $2^{- \frac{3}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Этап 10.3.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (2) = \frac{2^{1 - \frac{3}{5}}}{5}$

Этап 10.3.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{5}{5} - \frac{3}{5}}}{5}$

Этап 10.3.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{5 - 3}{5}}}{5}$

Этап 10.3.2.2.4

Вычтем $3$ из $5$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2}{5}}}{5}$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{2^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{2^{\frac{2}{5}}}{5}$

Этап 10.4

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11