Математический анализ Примеры

$y = \sqrt[3]{x}$ , $y = 0$ , $x = 1$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = \sqrt[3]{x}$

Этап 2

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$V = \sqrt[3]{x^{2}}$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$V = π \int_{0}^{1} x^{\frac{2}{3}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$V = π \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{0}^{1}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{3}{5}$ и $x^{\frac{5}{3}}$ .

$V = π \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{0}^{1}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ в $1$ и в $0$ .

$V = π ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.2.3

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 5.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Этап 5.2.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Этап 5.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{5}}{5})$

Этап 5.2.2.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0}{5})$

Этап 5.2.2.7

Умножим $3$ на $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{0}{5})$

Этап 5.2.2.8

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.8.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Этап 5.2.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.8.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Этап 5.2.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Этап 5.2.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{0}{1})$

Этап 5.2.2.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{3}{5} - 0)$

Этап 5.2.2.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} + 0)$

Этап 5.2.2.10

Добавим $\frac{3}{5}$ и $0$ .

$V = π (\frac{3}{5})$

Этап 5.2.2.11

Объединим $π$ и $\frac{3}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 3}{5}$

Этап 5.2.2.12

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$V = \frac{3 π}{5}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{3 π}{5}$

Десятичная форма:

$V = 1.88495559 \dots$

Этап 7