Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 e^{2 x} - x^{2}}{3 \cos (π + 2 x)}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 e^{2 x} - x^{2}}{\cos (π + 2 x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + 2 e^{2 x} - x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Этап 6

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Этап 9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (lim_{x \to 0} π + 2 x)}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (lim_{x \to 0} π + lim_{x \to 0} 2 x)}$

Этап 11

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (π + lim_{x \to 0} 2 x)}$

Этап 12

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (π + 2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (π + 2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0} - 0^{2}}{\cos (π + 2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 13.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0} - 0^{2}}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{0} - 0^{2}}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Этап 14.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 \cdot 1 - 0^{2}}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Этап 14.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 - 0^{2}}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Этап 14.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 - 0}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Этап 14.1.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 + 0}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Этап 14.1.6

Добавим $1 + 2$ и $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Этап 14.1.7

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\cos (π + 0)}$

Этап 14.2.2

Добавим $π$ и $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\cos (π)}$

Этап 14.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{- \cos (0)}$

Этап 14.2.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{- 1 \cdot 1}$

Этап 14.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{- 1}$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{- 1}$

Этап 14.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 1}$

Этап 14.4

Разделим $1$ на $- 1$ .

$- 1$