Математический анализ Примеры

$f (x) = {(x + 6)}^{2} (x - 3)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем ${(x + 6)}^{2}$ в виде $(x + 6) (x + 6)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x + 6) (x + 6) (x - 3))$

Этап 1.1.2

Развернем $(x + 6) (x + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x (x + 6) + 6 (x + 6)) (x - 3))$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6)) (x - 3))$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6) (x - 3))$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6) (x - 3))$

Этап 1.1.3.1.2

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6) (x - 3))$

Этап 1.1.3.1.3

Умножим $6$ на $6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 6 x + 6 x + 36) (x - 3))$

Этап 1.1.3.2

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 12 x + 36) (x - 3))$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} + 12 x + 36$ и $g (x) = x - 3$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Этап 1.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Этап 1.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Этап 1.1.5.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Этап 1.1.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Этап 1.1.5.4.2

Умножим $x^{2} + 12 x + 36$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Этап 1.1.5.5

По правилу суммы производная $x^{2} + 12 x + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (36))$

Этап 1.1.5.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (36))$

Этап 1.1.5.7

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (36))$

Этап 1.1.5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (36))$

Этап 1.1.5.9

Умножим $12$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12 + \frac{d}{d x} (36))$

Этап 1.1.5.10

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12 + 0)$

Этап 1.1.5.11

Добавим $2 x + 12$ и $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12)$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot 12$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot 12$

Этап 1.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Этап 1.1.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Этап 1.1.6.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Этап 1.1.6.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Этап 1.1.6.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Этап 1.1.6.4.5

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Этап 1.1.6.4.6

Перенесем $12$ влево от $x$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} - 6 x + 12 \cdot x - 3 \cdot 12$

Этап 1.1.6.4.7

Умножим $- 3$ на $12$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} - 6 x + 12 x - 36$

Этап 1.1.6.4.8

Добавим $- 6 x$ и $12 x$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} + 6 x - 36$

Этап 1.1.6.4.9

Добавим $x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 36 + 6 x - 36$

Этап 1.1.6.4.10

Добавим $12 x$ и $6 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 x + 36 - 36$

Этап 1.1.6.4.11

Вычтем $36$ из $36$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 x + 0$

Этап 1.1.6.4.12

Добавим $3 x^{2} + 18 x$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 18 x$ .

$3 x^{2} + 18 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 18 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} + 18 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2} + 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 18 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $3 x$ из $18 x$ .

$3 x (x) + 3 x (6) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x) + 3 x (6)$ .

$3 x (x + 6) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 x (x + 6) = 0$ верно.

$x = 0, - 6$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, - 6$ .

$0, - 6$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 6)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 7$ .

$f' (- 7) = 3 {(- 7)}^{2} + 18 (- 7)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$f' (- 7) = 3 \cdot 49 + 18 (- 7)$

Этап 5.2.1.2

Умножим $3$ на $49$ .

$f' (- 7) = 147 + 18 (- 7)$

Этап 5.2.1.3

Умножим $18$ на $- 7$ .

$f' (- 7) = 147 - 126$

Этап 5.2.2

Вычтем $126$ из $147$ .

$f' (- 7) = 21$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $21$ .

$21$

Этап 5.3

При $x = - 7$ производная имеет вид $21$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 6)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 6)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 6, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = 3 {(- 3)}^{2} + 18 (- 3)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = 3 \cdot 9 + 18 (- 3)$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $9$ .

$f' (- 3) = 27 + 18 (- 3)$

Этап 6.2.1.3

Умножим $18$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = 27 - 54$

Этап 6.2.2

Вычтем $54$ из $27$ .

$f' (- 3) = - 27$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 27$ .

$- 27$

Этап 6.3

При $x = - 3$ производная имеет вид $- 27$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 6, 0)$ .

Убывание на $(- 6, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} + 18 (1)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 3 \cdot 1 + 18 (1)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (1) = 3 + 18 (1)$

Этап 7.2.1.3

Умножим $18$ на $1$ .

$f' (1) = 3 + 18$

Этап 7.2.2

Добавим $3$ и $18$ .

$f' (1) = 21$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $21$ .

$21$

Этап 7.3

При $x = 1$ производная имеет вид $21$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 6), (0, \infty)$

Убывание на: $(- 6, 0)$

Этап 9