Математический анализ Примеры

$f (x) = (x^{2} - 3) e^{- x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} - 3$ и $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Этап 1.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Этап 1.1.3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $(x^{2} - 3) e^{- x}$ .

$f' (x) = - 1 \cdot ((x^{2} - 3) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Этап 1.1.3.3.3

Перепишем $- 1 (x^{2} - 3)$ в виде $- (x^{2} - 3)$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Этап 1.1.3.4

По правилу суммы производная $x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Этап 1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} (- 3))$

Этап 1.1.3.6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + 0)$

Этап 1.1.3.7

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = (- x^{2} + 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Этап 1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Этап 1.1.4.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Этап 1.1.4.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$

Этап 1.1.4.5

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- x^{2} e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $2 x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x) + 3 e^{- x} = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $3 e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 3 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x)$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2 x) + e^{- x} \cdot 3 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $e^{- x} (- x^{2} + 2 x) + e^{- x} \cdot 3$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2 x + 3) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2 (x) + 3) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.2

Запишем $2$ как $- 1$ плюс $3$

$e^{- x} (- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- x} (- x^{2} - 1 x + 3 x + 3) = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$e^{- x} ((- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3) = 0$

Этап 2.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$e^{- x} (x (- x - 1) - 3 (- x - 1)) = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 1$ .

$e^{- x} ((- x - 1) (x - 3)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$e^{- x} (- x - 1) (x - 3) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ .

$e^{- x} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $e^{- x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Этап 2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.4.2.3

Нет решения для $e^{- x} = 0$

Нет решения

Этап 2.5

Приравняем $- x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $- x - 1$ к $0$ .

$- x - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $- x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- x = 1$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $- x = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x = - 1$

Этап 2.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{- x} (- x - 1) (x - 3) = 0$ верно.

$x = - 1, 3$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $- 1, 3$ .

$- 1, 3$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - {(- 2)}^{2} e^{- (- 2)} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - 1 \cdot (4 e^{- (- 2)}) + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{- (- 2)} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Этап 5.2.1.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Этап 5.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 \cdot e^{2} + 3 e^{- (- 2)}$

Этап 5.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 e^{2} + 3 e^{2}$

Этап 5.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $4 e^{2}$ из $- 4 e^{2}$ .

$f' (- 2) = - 8 e^{2} + 3 e^{2}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 8 e^{2}$ и $3 e^{2}$ .

$f' (- 2) = - 5 e^{2}$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 5 e^{2}$ .

$- 5 e^{2}$

Этап 5.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $- 5 e^{2}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1, 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - {(1)}^{2} e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - 1 \cdot (1 e^{- (1)}) + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- 1} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Этап 6.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 1 \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Этап 6.2.1.5

Перепишем $- 1 \frac{1}{e}$ в виде $- \frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Этап 6.2.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- 1} + 3 e^{- (1)}$

Этап 6.2.1.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot \frac{1}{e} + 3 e^{- (1)}$

Этап 6.2.1.9

Объединим $2$ и $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 e^{- (1)}$

Этап 6.2.1.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 e^{- 1}$

Этап 6.2.1.11

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 (\frac{1}{e})$

Этап 6.2.1.12

Объединим $3$ и $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + \frac{3}{e}$

Этап 6.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (1) = \frac{- 1 + 2 + 3}{e}$

Этап 6.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f' (1) = \frac{1 + 3}{e}$

Этап 6.2.2.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f' (1) = \frac{4}{e}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $\frac{4}{e}$ .

$\frac{4}{e}$

Этап 6.3

При $x = 1$ производная имеет вид $\frac{4}{e}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 1, 3)$ .

Возрастание в области $(- 1, 3)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(3, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = - {(4)}^{2} e^{- (4)} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = - 1 \cdot (16 e^{- (4)}) + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f' (4) = - 16 e^{- (4)} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (4) = - 16 e^{- 4} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Этап 7.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - 16 \frac{1}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Этап 7.2.1.5

Объединим $- 16$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = \frac{- 16}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Этап 7.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Этап 7.2.1.7

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Этап 7.2.1.8

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot e^{- 4} + 3 e^{- (4)}$

Этап 7.2.1.9

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot \frac{1}{e^{4}} + 3 e^{- (4)}$

Этап 7.2.1.10

Объединим $8$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 e^{- (4)}$

Этап 7.2.1.11

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 e^{- 4}$

Этап 7.2.1.12

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 (\frac{1}{e^{4}})$

Этап 7.2.1.13

Объединим $3$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + \frac{3}{e^{4}}$

Этап 7.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (4) = \frac{- 16 + 8 + 3}{e^{4}}$

Этап 7.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Добавим $- 16$ и $8$ .

$f' (4) = \frac{- 8 + 3}{e^{4}}$

Этап 7.2.2.2.2

Добавим $- 8$ и $3$ .

$f' (4) = \frac{- 5}{e^{4}}$

Этап 7.2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (4) = - \frac{5}{e^{4}}$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{5}{e^{4}}$ .

$- \frac{5}{e^{4}}$

Этап 7.3

При $x = 4$ производная имеет вид $- \frac{5}{e^{4}}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(3, \infty)$ .

Убывание на $(3, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 1, 3)$

Убывание на: $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

Этап 9