Математический анализ Примеры

$x^{2} \ln (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Этап 1.1.3.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x \ln (x) + x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Этап 2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 x \ln (x) = - x$

Этап 2.3

Разделим каждый член $2 x \ln (x) = - x$ на $2 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $2 x \ln (x) = - x$ на $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Этап 2.3.2.2.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Этап 2.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 2.5

Перепишем $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Этап 2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перепишем уравнение в виде $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 2.6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 3.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 4

Вычислим $x^{2} \ln (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ вместо $x$ .

${(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{1}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.2.2.2

Упростим.

$\frac{1}{e} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.2.3

Перенесем $e^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Этап 4.1.2.4

Развернем $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ , вынося $- \frac{1}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2} \ln (e))$

Этап 4.1.2.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.1.2.7

Умножим $\frac{1}{e}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2}$

Этап 4.1.2.8

Перенесем $2$ влево от $e$ .

$- \frac{1}{2 e}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{2} \ln (0)$

Этап 4.2.2

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$

Этап 5