Математический анализ Примеры

$y = \frac{7}{x}$ ; $[1, 5]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\frac{7}{x} = 0$

Этап 1.2

Решим $\frac{7}{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$7 = 0$

Этап 1.2.2

Поскольку $7 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{5} \frac{7}{x} d x - \int_{1}^{5} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{5} 0 - (\frac{7}{x}) d x$

Этап 3.1.2

Вычтем $\frac{7}{x}$ из $0$ .

$\int_{1}^{5} - \frac{7}{x} d x$

Этап 3.1.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{5} \frac{7}{x} d x$

Этап 3.1.4

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$- (7 \int_{1}^{5} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.1.5

Умножим $7$ на $- 1$ .

$- 7 \int_{1}^{5} \frac{1}{x} d x$

Этап 3.1.6

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- 7 (\ln (| x |)]_{1}^{5})$

Этап 3.1.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $5$ и в $1$ .

$- 7 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 3.1.7.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 7 \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

Этап 3.1.7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$- 7 \ln (\frac{5}{| 1 |})$

Этап 3.1.7.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$- 7 \ln (\frac{5}{1})$

Этап 3.1.7.3.3

Разделим $5$ на $1$ .

$- 7 \ln (5)$

Этап 3.2

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{5} \frac{7}{x} - (0) d x$

Этап 3.3

Вычтем $0$ из $\frac{7}{x}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{7}{x} d x$

Этап 3.4

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int_{1}^{5} \frac{1}{x} d x$

Этап 3.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$7 (\ln (| x |)]_{1}^{5})$

Этап 3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $5$ и в $1$ .

$7 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 3.6.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$7 \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

Этап 3.6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$7 \ln (\frac{5}{| 1 |})$

Этап 3.6.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$7 \ln (\frac{5}{1})$

Этап 3.6.3.3

Разделим $5$ на $1$ .

$7 \ln (5)$

Этап 4

Сложим площади $7 \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $7 \ln (5)$ путем переноса $7$ под логарифм.

$\ln (5^{7})$

Этап 4.2

Возведем $5$ в степень $7$ .

$\ln (78125)$

Этап 5