Математический анализ Примеры

$\frac{| 4 - x^{2} |}{x - 2}$

Этап 1

Запишем $\frac{| 4 - x^{2} |}{x - 2}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{| 4 - x^{2} |}{x - 2}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = | 4 - x^{2} |$ и $g (x) = x - 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} (| 4 - x^{2} |) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = | x |$ и $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

По правилу суммы производная $4 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot (- (2 x)) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot (- 2 x) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.3.6.2

Объединим $- 2$ и $\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{- 2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) \cdot x - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.3.6.3

Объединим $x$ и $\frac{- 2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{x (- 2 (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.3.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{x \cdot (2 (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.3.6.4.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 \cdot (x (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | (1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.3.9

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.3.10.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x \cdot 4 + 2 x (- x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1.1

Умножим $4$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 x (- x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 \cdot (- 1 x \cdot x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.1.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x))}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.1.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x))}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 \cdot (- 1 x^{2 + 1})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.1.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 \cdot (- 1 x^{3})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.1.5

Перепишем $8 x - 2 x^{3}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1.5.1

Вынесем множитель $2 x$ из $8 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1.5.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $8 x$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4) - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.1.5.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4) + 2 x (- x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.1.5.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (4) + 2 x (- x^{2})$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2^{2} - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.1.5.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2^{2} - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.2.2

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.2.3

Развернем $(2 + x) (2 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2 (2 - x) + x (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.2.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.2.4.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.2.4.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.2.4.1.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.2.4.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.2.4.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.2.4.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.2.4.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 x - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.2.4.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 + 0 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.2.4.3

Добавим $4$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.2.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2^{2} - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.2.6

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{x (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - 2 (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = \frac{- x \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - 2 (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.5

Умножим $- 2 (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (x) = \frac{- x \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + 2 (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.5.2

Объединим $2$ и $\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}$ .

$f' (x) = \frac{- x \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{2 (2 x (2 + x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.5.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{- x \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.6

Умножим $- x \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.6.1

Объединим $\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{- \frac{2 x (2 + x) (2 - x) x}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.6.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{- \frac{2 (x \cdot x) (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.6.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{- \frac{2 (x \cdot x) (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{- \frac{2 x^{1 + 1} (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{\frac{- 2 x^{2} (2 + x) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{(- 2 x^{2} \cdot 2 - 2 x^{2} x) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(- 4 x^{2} - 2 x^{2} x) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.8.3.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(- 4 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2})) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.8.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(- 4 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2})) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{\frac{(- 4 x^{2} - 2 x^{1 + 2}) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(- 4 x^{2} - 2 x^{3}) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.4

Развернем $(- 4 x^{2} - 2 x^{3}) (2 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.8.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{- 4 x^{2} (2 - x) - 2 x^{3} (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{- 4 x^{2} \cdot 2 - 4 x^{2} (- x) - 2 x^{3} (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{- 4 x^{2} \cdot 2 - 4 x^{2} (- x) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 x^{2} (- x) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 \cdot (- 1 x^{2} x) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.3.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 \cdot (- 1 x^{3}) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.4

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 \cdot (- 1 x^{3} x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.7

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.7.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 \cdot (- 1 (x \cdot x^{3})) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.7.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 \cdot (- 1 (x \cdot x^{3})) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 \cdot (- 1 x^{1 + 3}) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.7.3

Добавим $1$ и $3$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 \cdot (- 1 x^{4}) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.5.1.8

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} + 2 x^{4} + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.5.2

Вычтем $4 x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 0 + 2 x^{4} + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.5.3

Добавим $- 8 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + (4 x \cdot 2 + 4 x \cdot x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.7

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + (8 x + 4 x \cdot x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.8.8.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + (8 x + 4 (x \cdot x)) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + (8 x + 4 x^{2}) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.9

Развернем $(8 x + 4 x^{2}) (2 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.8.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 8 x (2 - x) + 4 x^{2} (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 8 x \cdot 2 + 8 x (- x) + 4 x^{2} (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 8 x \cdot 2 + 8 x (- x) + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.8.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.8.10.1.1

Умножим $2$ на $8$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x + 8 x (- x) + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.10.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x + 8 \cdot (- 1 x \cdot x) + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.10.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.8.10.1.3.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x)) + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.10.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x + 8 \cdot (- 1 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.10.1.4

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.10.1.5

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.10.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 \cdot (- 1 x^{2} x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.10.1.7

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.8.10.1.7.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2}))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.10.1.7.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.8.10.1.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2}))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.10.1.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 \cdot (- 1 x^{1 + 2})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.10.1.7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 \cdot (- 1 x^{3})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.10.1.8

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.10.2

Добавим $- 8 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x + 0 - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.8.10.3

Добавим $16 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.9.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 4 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.9.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 8 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x) + 2 x^{4} + 16 x - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.9.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x) + 2 x (x^{3}) + 16 x - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.9.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $16 x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x) + 2 x (x^{3}) + 2 x (8) - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.9.1.4

Вынесем множитель $2 x$ из $- 4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x) + 2 x (x^{3}) + 2 x (8) + 2 x (- 2 x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.9.1.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- 4 x) + 2 x (x^{3})$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x + x^{3}) + 2 x (8) + 2 x (- 2 x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.9.1.6

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- 4 x + x^{3}) + 2 x (8)$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x + x^{3} + 8) + 2 x (- 2 x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.9.1.7

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- 4 x + x^{3} + 8) + 2 x (- 2 x^{2})$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x + x^{3} + 8 - 2 x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.9.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.9.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.9.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x^{3} - 2 x^{2}) - 4 x + 8)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.9.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} (x - 2) - 4 (x - 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.9.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x^{2} - 4))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.9.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x^{2} - 2^{2}))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.9.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x + 2) (x - 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.9.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.9.7.1

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x - 2) (x + 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.9.7.2

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x - 2) (x + 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.9.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ({(x - 2)}^{1 + 1} (x + 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.1.9.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ({(x - 2)}^{2} (x + 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x - 2)}^{2} (x + 2)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.2

Чтобы записать $- | 4 - x^{2} |$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{| (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x - 2)}^{2} (x + 2)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} | \cdot \frac{| (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.3

Объединим $- | 4 - x^{2} |$ и $\frac{| (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x - 2)}^{2} (x + 2)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{- | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x - 2)}^{2} (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x - 2)) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 4 x + 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.5.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.5.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(2 (x^{2} x) + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.5.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.5.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(2 (x^{2} x) + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{2 + 1} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.5.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x \cdot x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.5.3

Умножим $4$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x \cdot x) + 8 x) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.6.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 (x \cdot x)) + 8 x) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x^{2}) + 8 x) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.6.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.7

Развернем $(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x + 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 2 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.8.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.8.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 2 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.8.1.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.8.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 2 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot 2 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.8.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 2 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.8.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.8.3.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.8.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.8.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.8.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{1 + 2} - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.8.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{3} - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.8.4

Умножим $2$ на $- 8$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{3} - 16 x^{2} + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.8.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.8.5.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{3} - 16 x^{2} + 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.8.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{3} - 16 x^{2} + 8 x^{2} + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.8.6

Умножим $2$ на $8$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{3} - 16 x^{2} + 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.9

Вычтем $8 x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 16 x^{2} + 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.10

Добавим $- 16 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.11

Развернем $(2 + x) (2 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 2 (2 - x) + x (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.12.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.12.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.12.1.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.12.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.12.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.12.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.12.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 x - x^{2} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.12.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 + 0 - x^{2} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.12.3

Добавим $4$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - x^{2} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.13

Умножим $- | 4 - x^{2} | | 4 - x^{2} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.13.1

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.13.2

Возведем $4 - x^{2}$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.13.3

Возведем $4 - x^{2}$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.13.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | {(4 - x^{2})}^{1 + 1} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.13.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | {(4 - x^{2})}^{2} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.14

Перепишем ${(4 - x^{2})}^{2}$ в виде $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.15

Развернем $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.15.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.16

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.16.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.16.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.16.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.16.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.16.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.16.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.16.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.16.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.16.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.16.1.7

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2.5.16.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.1

Перепишем $\frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$ в виде произведения.

$f' (x) = \frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.3.2

Умножим $\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |}$ на $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) | {(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.4.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |}$ .

$\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем все члены без $| 16 - 8 x^{2} + x^{4} |$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вычтем $2 x^{4}$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4}$

Этап 3.3.1.2

Добавим $4 x^{3}$ к обеим частям уравнения.

$- 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4} + 4 x^{3}$

Этап 3.3.1.3

Добавим $8 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Этап 3.3.1.4

Вычтем $16 x$ из обеих частей уравнения.

$- | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x$

Этап 3.3.2

Разделим каждый член $- | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разделим каждый член $- | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x$ на $- 1$ .

$\frac{- | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{- 1} = \frac{- 2 x^{4}}{- 1} + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{| 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{1} = \frac{- 2 x^{4}}{- 1} + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Этап 3.3.2.2.2

Разделим $| 16 - 8 x^{2} + x^{4} |$ на $1$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = \frac{- 2 x^{4}}{- 1} + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 2 x^{4}}{- 1}$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 1 \cdot (- 2 x^{4}) + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Этап 3.3.2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (- 2 x^{4})$ в виде $- (- 2 x^{4})$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - (- 2 x^{4}) + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Этап 3.3.2.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Этап 3.3.2.3.1.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{4 x^{3}}{- 1}$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 1 \cdot (4 x^{3}) + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Этап 3.3.2.3.1.5

Перепишем $- 1 \cdot (4 x^{3})$ в виде $- (4 x^{3})$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - (4 x^{3}) + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Этап 3.3.2.3.1.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Этап 3.3.2.3.1.7

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{8 x^{2}}{- 1}$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 1 \cdot (8 x^{2}) + \frac{- 16 x}{- 1}$

Этап 3.3.2.3.1.8

Перепишем $- 1 \cdot (8 x^{2})$ в виде $- (8 x^{2})$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - (8 x^{2}) + \frac{- 16 x}{- 1}$

Этап 3.3.2.3.1.9

Умножим $8$ на $- 1$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Этап 3.3.2.3.1.10

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 16 x}{- 1}$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 16 x)$

Этап 3.3.2.3.1.11

Перепишем $- 1 \cdot (- 16 x)$ в виде $- (- 16 x)$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} - (- 16 x)$

Этап 3.3.2.3.1.12

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$16 - 8 x^{2} + x^{4} = \pm (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x)$

Этап 3.3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$16 - 8 x^{2} + x^{4} = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x$

Этап 3.3.4.2

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Этап 3.3.4.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1

Добавим $8 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 8 x^{2} = 16 + x^{4}$

Этап 3.3.4.3.2

Вычтем $x^{4}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 8 x^{2} - x^{4} = 16$

Этап 3.3.4.3.3

Объединим противоположные члены в $2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 8 x^{2} - x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.3.1

Добавим $- 8 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$2 x^{4} - 4 x^{3} + 16 x + 0 - x^{4} = 16$

Этап 3.3.4.3.3.2

Добавим $2 x^{4} - 4 x^{3} + 16 x$ и $0$ .

$2 x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - x^{4} = 16$

Этап 3.3.4.3.4

Вычтем $x^{4}$ из $2 x^{4}$ .

$x^{4} - 4 x^{3} + 16 x = 16$

Этап 3.3.4.4

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16 = 0$

Этап 3.3.4.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.1

Разложим $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 3.3.4.5.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Этап 3.3.4.5.1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{4} - 4 {(- 2)}^{3} + 16 \cdot - 2 - 16$

Этап 3.3.4.5.1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$16 - 4 {(- 2)}^{3} + 16 \cdot - 2 - 16$

Этап 3.3.4.5.1.3.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$16 - 4 \cdot - 8 + 16 \cdot - 2 - 16$

Этап 3.3.4.5.1.3.4

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$16 + 32 + 16 \cdot - 2 - 16$

Этап 3.3.4.5.1.3.5

Добавим $16$ и $32$ .

$48 + 16 \cdot - 2 - 16$

Этап 3.3.4.5.1.3.6

Умножим $16$ на $- 2$ .

$48 - 32 - 16$

Этап 3.3.4.5.1.3.7

Вычтем $32$ из $48$ .

$16 - 16$

Этап 3.3.4.5.1.3.8

Вычтем $16$ из $16$ .

$0$

Этап 3.3.4.5.1.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16}{x + 2}$

Этап 3.3.4.5.1.5

Разделим $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

Этап 3.3.4.5.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

Этап 3.3.4.5.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 3.3.4.5.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + 2 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 3.3.4.5.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

Этап 3.3.4.5.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 3.3.4.5.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 3.3.4.5.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

Этап 3.3.4.5.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

Этап 3.3.4.5.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

Этап 3.3.4.5.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

Этап 3.3.4.5.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

Этап 3.3.4.5.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

Этап 3.3.4.5.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x^{2} + 24 x$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

Этап 3.3.4.5.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

Этап 3.3.4.5.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

$16$

Этап 3.3.4.5.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

$16$

Этап 3.3.4.5.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

$16$

$8 x$

$16$

Этап 3.3.4.5.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x - 16$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

$16$

$8 x$

$16$

Этап 3.3.4.5.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

$16$

$8 x$

$16$

$0$

Этап 3.3.4.5.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

Этап 3.3.4.5.1.6

Запишем $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ в виде набора множителей.

$(x + 2) (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) = 0$

Этап 3.3.4.5.2

Разложим $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.2.1

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 3.3.4.5.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Этап 3.3.4.5.2.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.2.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Этап 3.3.4.5.2.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Этап 3.3.4.5.2.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

Этап 3.3.4.5.2.3.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

Этап 3.3.4.5.2.3.5

Вычтем $24$ из $8$ .

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

Этап 3.3.4.5.2.3.6

Умножим $12$ на $2$ .

$- 16 + 24 - 8$

Этап 3.3.4.5.2.3.7

Добавим $- 16$ и $24$ .

$8 - 8$

Этап 3.3.4.5.2.3.8

Вычтем $8$ из $8$ .

$0$

Этап 3.3.4.5.2.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

Этап 3.3.4.5.2.5

Разделим $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.2.5.1

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

Этап 3.3.4.5.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

Этап 3.3.4.5.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 3.3.4.5.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 3.3.4.5.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Этап 3.3.4.5.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 3.3.4.5.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 3.3.4.5.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 3.3.4.5.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} + 8 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 3.3.4.5.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

Этап 3.3.4.5.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Этап 3.3.4.5.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Этап 3.3.4.5.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

Этап 3.3.4.5.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x - 8$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

Этап 3.3.4.5.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

Этап 3.3.4.5.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 4 x + 4$

Этап 3.3.4.5.2.6

Запишем $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ в виде набора множителей.

$(x + 2) ((x - 2) (x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Этап 3.3.4.5.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(x + 2) ((x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2})) = 0$

Этап 3.3.4.5.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 3.3.4.5.3.3

Перепишем многочлен.

$(x + 2) ((x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Этап 3.3.4.5.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$(x + 2) ((x - 2) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Этап 3.3.4.5.4

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.4.1

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Этап 3.3.4.5.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 2} = 0$

Этап 3.3.4.5.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(x + 2) {(x - 2)}^{3} = 0$

Этап 3.3.4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

${(x - 2)}^{3} = 0$

Этап 3.3.4.7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.3.4.7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.3.4.8

Приравняем ${(x - 2)}^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.8.1

Приравняем ${(x - 2)}^{3}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

Этап 3.3.4.8.2

Решим ${(x - 2)}^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.8.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.3.4.8.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.3.4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) {(x - 2)}^{3} = 0$ верно.

$x = - 2, 2$

Этап 3.3.4.10

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$16 - 8 x^{2} + x^{4} = - (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x)$

Этап 3.3.4.11

$- (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Этап 3.3.4.12

Упростим $- (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.12.1

Перепишем.

$0 + 0 - (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Этап 3.3.4.12.2

Упростим путем добавления нулей.

$- (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Этап 3.3.4.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (2 x^{4}) - (- 4 x^{3}) - (- 8 x^{2}) - (16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Этап 3.3.4.12.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.12.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x^{4} - (- 4 x^{3}) - (- 8 x^{2}) - (16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Этап 3.3.4.12.4.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$- 2 x^{4} + 4 x^{3} - (- 8 x^{2}) - (16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Этап 3.3.4.12.4.3

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$- 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - (16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Этап 3.3.4.12.4.4

Умножим $16$ на $- 1$ .

$- 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Этап 3.3.4.13

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.13.1

Добавим $8 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x + 8 x^{2} = 16 + x^{4}$

Этап 3.3.4.13.2

Вычтем $x^{4}$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x + 8 x^{2} - x^{4} = 16$

Этап 3.3.4.13.3

Вычтем $x^{4}$ из $- 2 x^{4}$ .

$- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x + 8 x^{2} = 16$

Этап 3.3.4.13.4

Добавим $8 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x = 16$

Этап 3.3.4.14

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x - 16 = 0$

Этап 3.3.4.15

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.15.1

Перегруппируем члены.

$4 x^{3} - 16 x - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

Этап 3.3.4.15.2

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.15.2.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

Этап 3.3.4.15.2.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

Этап 3.3.4.15.2.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

Этап 3.3.4.15.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

Этап 3.3.4.15.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.15.4.1

$4 x ((x + 2) (x - 2)) - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

Этап 3.3.4.15.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

Этап 3.3.4.15.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 {(x^{2})}^{2} + 16 x^{2} - 16 = 0$

Этап 3.3.4.15.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 u^{2} + 16 u - 16 = 0$

Этап 3.3.4.15.7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.15.7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 3 \cdot - 16 = 48$ , а сумма — $b = 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.15.7.1.1

Вынесем множитель $16$ из $16 u$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 u^{2} + 16 (u) - 16 = 0$

Этап 3.3.4.15.7.1.2

Запишем $16$ как $4$ плюс $12$

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 u^{2} + (4 + 12) u - 16 = 0$

Этап 3.3.4.15.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 u^{2} + 4 u + 12 u - 16 = 0$

Этап 3.3.4.15.7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.15.7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 u^{2} + 4 u + 12 u - 16 = 0$

Этап 3.3.4.15.7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 x (x + 2) (x - 2) + u (- 3 u + 4) - 4 (- 3 u + 4) = 0$

Этап 3.3.4.15.7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 3 u + 4$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 u + 4) (u - 4) = 0$

Этап 3.3.4.15.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 x^{2} + 4) (x^{2} - 4) = 0$

Этап 3.3.4.15.9

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 3.3.4.15.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.15.10.1

$4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 3.3.4.15.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 3.3.4.15.11

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.15.11.1

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $4 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (4 x) + (- 3 x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 3.3.4.15.11.2

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $(- 3 x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (4 x) + (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} + 4) = 0$

Этап 3.3.4.15.11.3

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $(x + 2) (x - 2) (4 x) + (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} + 4)$ .

$(x + 2) (x - 2) (4 x - 3 x^{2} + 4) = 0$

Этап 3.3.4.15.12

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x + 2) (x - 2) (4 u - 3 u^{2} + 4) = 0$

Этап 3.3.4.15.13

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.15.13.1

Изменим порядок членов.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 u^{2} + 4 u + 4) = 0$

Этап 3.3.4.15.13.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 3 \cdot 4 = - 12$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.15.13.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 u$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 u^{2} + 4 (u) + 4) = 0$

Этап 3.3.4.15.13.2.2

Запишем $4$ как $- 2$ плюс $6$

$(x + 2) (x - 2) (- 3 u^{2} + (- 2 + 6) u + 4) = 0$

Этап 3.3.4.15.13.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 u^{2} - 2 u + 6 u + 4) = 0$

Этап 3.3.4.15.13.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.15.13.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 2) (x - 2) ((- 3 u^{2} - 2 u) + 6 u + 4) = 0$

Этап 3.3.4.15.13.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 2) (x - 2) (u (- 3 u - 2) - 2 (- 3 u - 2)) = 0$

Этап 3.3.4.15.13.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 3 u - 2$ .

$(x + 2) (x - 2) ((- 3 u - 2) (u - 2)) = 0$

Этап 3.3.4.15.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.15.14.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((- 3 x - 2) (x - 2)) = 0$

Этап 3.3.4.15.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x - 2) (x - 2) = 0$

Этап 3.3.4.15.15

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.15.15.1

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (- 3 x - 2) = 0$

Этап 3.3.4.15.15.2

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (- 3 x - 2) = 0$

Этап 3.3.4.15.15.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1} (- 3 x - 2) = 0$

Этап 3.3.4.15.15.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (- 3 x - 2) = 0$

Этап 3.3.4.16

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$- 3 x - 2 = 0$

Этап 3.3.4.17

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.17.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.3.4.17.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.3.4.18

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.18.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 3.3.4.18.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.18.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.3.4.18.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.3.4.19

Приравняем $- 3 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.19.1

Приравняем $- 3 x - 2$ к $0$ .

$- 3 x - 2 = 0$

Этап 3.3.4.19.2

Решим $- 3 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.19.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$- 3 x = 2$

Этап 3.3.4.19.2.2

Разделим каждый член $- 3 x = 2$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.19.2.2.1

Разделим каждый член $- 3 x = 2$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

Этап 3.3.4.19.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.19.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.19.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

Этап 3.3.4.19.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{- 3}$

Этап 3.3.4.19.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.19.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 3.3.4.20

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) {(x - 2)}^{2} (- 3 x - 2) = 0$ верно.

$x = - 2, 2, - \frac{2}{3}$

Этап 3.4

Исключим решения, которые не делают $\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) | = 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

$| (2 + x) (2 - x) | = 0$

Этап 5.2.2

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 5.2.2.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.2.2.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5.2.3

Приравняем $| (2 + x) (2 - x) |$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Приравняем $| (2 + x) (2 - x) |$ к $0$ .

$| (2 + x) (2 - x) | = 0$

Этап 5.2.3.2

Решим $| (2 + x) (2 - x) | = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$(2 + x) (2 - x) = \pm 0$

Этап 5.2.3.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$(2 + x) (2 - x) = 0$

Этап 5.2.3.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Этап 5.2.3.2.4

Приравняем $2 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.4.1

Приравняем $2 + x$ к $0$ .

$2 + x = 0$

Этап 5.2.3.2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5.2.3.2.5

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.5.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 5.2.3.2.5.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 5.2.3.2.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2.3.2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2.3.2.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2.3.2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.5.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 5.2.3.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 + x) (2 - x) = 0$ верно.

$x = - 2, 2$

Этап 5.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) | = 0$ верно.

$x = 2, - 2$

Этап 5.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Этап 6

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{2 {(- 3)}^{4} - 4 {(- 3)}^{3} - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{((- 3) - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (- 3) = \frac{2 {(- 3)}^{4} - 4 {(- 3)}^{3} - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{((- 3) - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f' (- 3) = \frac{2 \cdot 81 - 4 {(- 3)}^{3} - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2.2

Умножим $2$ на $81$ .

$f' (- 3) = \frac{162 - 4 {(- 3)}^{3} - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f' (- 3) = \frac{162 - 4 \cdot - 27 - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2.4

Умножим $- 4$ на $- 27$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2.5

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 8 \cdot 9 + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2.6

Умножим $- 8$ на $9$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2.7

Умножим $16$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.8.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | 16 - 8 \cdot 9 + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2.8.2

Умножим $- 8$ на $9$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | 16 - 72 + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2.8.3

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | 16 - 72 + 81 |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2.9

Вычтем $72$ из $16$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | - 56 + 81 |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2.10

Добавим $- 56$ и $81$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | 25 |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2.11

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $25$ равно $25$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - 1 \cdot 25}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2.12

Умножим $- 1$ на $25$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - 25}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2.13

Добавим $162$ и $108$ .

$f' (- 3) = \frac{270 - 72 - 48 - 25}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2.14

Вычтем $72$ из $270$ .

$f' (- 3) = \frac{198 - 48 - 25}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2.15

Вычтем $48$ из $198$ .

$f' (- 3) = \frac{150 - 25}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.2.16

Вычтем $25$ из $150$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{{(- 5)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.3.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{{(- 5)}^{2} | - 1 (2 - (- 3)) |}$

Этап 7.2.3.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{{(- 5)}^{2} | - 1 (2 + 3) |}$

Этап 7.2.3.4

Добавим $2$ и $3$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{{(- 5)}^{2} | - 1 \cdot 5 |}$

Этап 7.2.3.5

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{25 | - 1 \cdot 5 |}$

Этап 7.2.3.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{25 | - 5 |}$

Этап 7.2.3.7

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 5$ и $0$ равно $5$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{25 \cdot 5}$

Этап 7.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Умножим $25$ на $5$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{125}$

Этап 7.2.4.2

Разделим $125$ на $125$ .

$f' (- 3) = 1$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 7.3

При $x = - 3$ производная имеет вид $1$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(- 2, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{2 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} |}{{((0) - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (0) = \frac{2 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} |}{{((0) - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot 0 - 4 \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2.2

Умножим $2$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 4 \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 4 \cdot 0 - 8 \cdot 0^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2.4

Умножим $- 4$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 - 8 \cdot 0^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 - 8 \cdot 0 + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2.6

Умножим $- 8$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2.7

Умножим $16$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.8.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 - 8 \cdot 0 + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2.8.2

Умножим $- 8$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 + 0 + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2.8.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 + 0 + 0 |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2.9

Добавим $16$ и $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 + 0 |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2.10

Добавим $16$ и $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2.11

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $16$ равно $16$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - 1 \cdot 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2.12

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2.13

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 - 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2.14

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 - 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2.15

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.2.16

Вычтем $16$ из $0$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Вычтем $2$ из $0$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{{(- 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.3.2

Добавим $2$ и $0$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{{(- 2)}^{2} | 2 (2 - (0)) |}$

Этап 8.2.3.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{{(- 2)}^{2} | 2 (2 + 0) |}$

Этап 8.2.3.4

Добавим $2$ и $0$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{{(- 2)}^{2} | 2 \cdot 2 |}$

Этап 8.2.3.5

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{4 | 2 \cdot 2 |}$

Этап 8.2.3.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{4 | 4 |}$

Этап 8.2.3.7

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{4 \cdot 4}$

Этап 8.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{16}$

Этап 8.2.4.2

Разделим $- 16$ на $16$ .

$f' (0) = - 1$

Этап 8.2.5

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 8.3

При $x = 0$ производная имеет вид $- 1$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 2, 2)$ .

Убывание на $(- 2, 2)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = \frac{2 {(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} - 8 {(3)}^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 {(3)}^{2} + {(3)}^{4} |}{{((3) - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (3) = \frac{2 {(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} - 8 {(3)}^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 {(3)}^{2} + {(3)}^{4} |}{{((3) - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f' (3) = \frac{2 \cdot 81 - 4 \cdot 3^{3} - 8 \cdot 3^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2.2

Умножим $2$ на $81$ .

$f' (3) = \frac{162 - 4 \cdot 3^{3} - 8 \cdot 3^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f' (3) = \frac{162 - 4 \cdot 27 - 8 \cdot 3^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2.4

Умножим $- 4$ на $27$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 8 \cdot 3^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 8 \cdot 9 + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2.6

Умножим $- 8$ на $9$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2.7

Умножим $16$ на $3$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.8.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | 16 - 8 \cdot 9 + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2.8.2

Умножим $- 8$ на $9$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | 16 - 72 + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2.8.3

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | 16 - 72 + 81 |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2.9

Вычтем $72$ из $16$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | - 56 + 81 |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2.10

Добавим $- 56$ и $81$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | 25 |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2.11

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $25$ равно $25$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - 1 \cdot 25}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2.12

Умножим $- 1$ на $25$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - 25}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2.13

Вычтем $108$ из $162$ .

$f' (3) = \frac{54 - 72 + 48 - 25}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2.14

Вычтем $72$ из $54$ .

$f' (3) = \frac{- 18 + 48 - 25}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2.15

Добавим $- 18$ и $48$ .

$f' (3) = \frac{30 - 25}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.2.16

Вычтем $25$ из $30$ .

$f' (3) = \frac{5}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Вычтем $2$ из $3$ .

$f' (3) = \frac{5}{1^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.3.2

Добавим $2$ и $3$ .

$f' (3) = \frac{5}{1^{2} | 5 (2 - (3)) |}$

Этап 9.2.3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (3) = \frac{5}{1^{2} | 5 (2 - 3) |}$

Этап 9.2.3.4

Вычтем $3$ из $2$ .

$f' (3) = \frac{5}{1^{2} | 5 \cdot - 1 |}$

Этап 9.2.3.5

Единица в любой степени равна единице.

$f' (3) = \frac{5}{1 | 5 \cdot - 1 |}$

Этап 9.2.3.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f' (3) = \frac{5}{1 | - 5 |}$

Этап 9.2.3.7

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 5$ и $0$ равно $5$ .

$f' (3) = \frac{5}{1 \cdot 5}$

Этап 9.2.3.8

Умножим $5$ на $1$ .

$f' (3) = \frac{5}{5}$

Этап 9.2.4

Разделим $5$ на $5$ .

$f' (3) = 1$

Этап 9.2.5

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 9.3

При $x = 3$ производная имеет вид $1$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(2, \infty)$ .

Возрастание в области $(2, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Убывание на: $(- 2, 2)$

Этап 11