Математический анализ Примеры

$y = x \ln (x)$

Этап 1

Запишем $y = x \ln (x)$ в виде функции.

$f (x) = x \ln (x)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Этап 2.3.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$1 + \ln (x)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $1 + \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Этап 3.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Этап 3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{x}$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$1 + \ln (x) = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Этап 5.1.3.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1 + \ln (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Этап 6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\ln (x) = - 1$

Этап 6.3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Этап 6.4

Перепишем $\ln (x) = - 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Этап 6.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем уравнение в виде $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Этап 6.5.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 7.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{e}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{e}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{1}{\frac{1}{e}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 e$

Этап 10.2

Умножим $e$ на $1$ .

$e$

Этап 11

$x = \frac{1}{e}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{e}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{e}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Перепишем $\frac{1}{e}$ в виде $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Этап 12.2.2

Перепишем $\ln (1 e^{- 1})$ в виде $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Этап 12.2.3

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 1$ из степени.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Этап 12.2.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Этап 12.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Этап 12.2.6

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 1)$

Этап 12.2.7

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 1$

Этап 12.2.8

Объединим $\frac{1}{e}$ и $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 1}{e}$

Этап 12.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$

Этап 12.2.10

Окончательный ответ: $- \frac{1}{e}$ .

$y = - \frac{1}{e}$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = x \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$ — локальный минимум

Этап 14