Математический анализ Примеры

$\frac{(- e^{- t} t + e^{- t})}{e^{t}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = - e^{- t} t + e^{- t}$ и $g (t) = e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- e^{- t} t + e^{- t}] - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{{(e^{t})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{t})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- e^{- t} t + e^{- t}] - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{t \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Перенесем $2$ влево от $t$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- e^{- t} t + e^{- t}] - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $- e^{- t} t + e^{- t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [- e^{- t} t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$\frac{e^{t} (\frac{d}{d t} [- e^{- t} t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- e^{- t} t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [e^{- t} t]$ .

$\frac{e^{t} (- \frac{d}{d t} [e^{- t} t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = e^{- t}$ и $g (t) = t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} \frac{d}{d t} [t] + t \frac{d}{d t} [e^{- t}]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} \cdot 1 + t \frac{d}{d t} [e^{- t}]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 4.2

Умножим $e^{- t}$ на $1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t \frac{d}{d t} [e^{- t}]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = - t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t])) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t])) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{- t} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{- t} \cdot - 1)) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 6.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- 1 \cdot e^{- t})) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 6.3.3

Перепишем $- 1 e^{- t}$ в виде $- e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{- t} (- 1 \cdot 1)) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{- t} \cdot - 1) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 8.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) - 1 \cdot e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 8.3.3

Перепишем $- 1 e^{- t}$ в виде $- e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) - e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ имеет вид $a^{t} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) - e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{t} (- e^{- t} - (t (- e^{- t})) - e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + (- (- e^{- t} t) - e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- e^{t} e^{- t} + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.2

Умножим $e^{t}$ на $e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.2.1

Перенесем $e^{- t}$ .

$\frac{- (e^{- t} e^{t}) + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- e^{- t + t} + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.2.3

Добавим $- t$ и $t$ .

$\frac{- e^{0} + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.3

Упростим $- e^{0}$ .

$\frac{- 1 + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 e^{t} (t e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.5

Умножим $e^{t}$ на $e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.5.1

Перенесем $e^{- t}$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- t} e^{t}) t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 e^{- t + t} t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.5.3

Добавим $- t$ и $t$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 e^{0} t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.6

Упростим $- 1 \cdot - 1 e^{0} t$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 + 1 t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.8

Умножим $t$ на $1$ .

$\frac{- 1 + t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 1 + t - e^{t} e^{- t} - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.10

Умножим $e^{t}$ на $e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.10.1

Перенесем $e^{- t}$ .

$\frac{- 1 + t - (e^{- t} e^{t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.10.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 1 + t - e^{- t + t} - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.10.3

Добавим $- t$ и $t$ .

$\frac{- 1 + t - e^{0} - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.11

Упростим $- e^{0}$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.12

Умножим $e^{- t}$ на $e^{t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.12.1

Перенесем $e^{t}$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - (- (e^{t} e^{- t}) t) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.12.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 1 + t - 1 - (- e^{t - t} t) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.12.3

Вычтем $t$ из $t$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - (- e^{0} t) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.13

Упростим $- (- e^{0} t)$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - (- 1 t) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.14

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - - t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.15

Умножим $- - t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.15.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + 1 t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.15.2

Умножим $t$ на $1$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.16

Умножим $e^{- t}$ на $e^{t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.16.1

Перенесем $e^{t}$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + t - (e^{t} e^{- t})}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.16.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 1 + t - 1 + t - e^{t - t}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.16.3

Вычтем $t$ из $t$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + t - e^{0}}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.1.17

Упростим $- e^{0}$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + t - 1}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{t - 2 + t - 1}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.3

Добавим $t$ и $t$ .

$\frac{2 t - 2 - 1}{e^{2 t}}$

Этап 10.5.4

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$\frac{2 t - 3}{e^{2 t}}$