Математический анализ Примеры

$lim_{x \to π} \frac{8 \cos (x) + 8}{{(x - π)}^{2}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to π} 8 \cos (x) + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 8 \cos (x) + lim_{x \to π} 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to π} \cos (x) + lim_{x \to π} 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Этап 1.2.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{8 \cos (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Этап 1.2.1.4

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{8 \cos (lim_{x \to π} x) + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{8 \cos (π) + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{8 (- \cos (0)) + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Этап 1.2.3.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{8 (- 1 \cdot 1) + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Этап 1.2.3.1.3

Умножим $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{8 \cdot - 1 + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Этап 1.2.3.1.3.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{- 8 + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Этап 1.2.3.2

Добавим $- 8$ и $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x - π)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - π)}^{2}}$

Этап 1.3.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π)}^{2}}$

Этап 1.3.1.3

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - π)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{0}{{(π - π)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Вычтем $π$ из $π$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Этап 1.3.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to π} \frac{8 \cos (x) + 8}{{(x - π)}^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [8 \cos (x) + 8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [8 \cos (x) + 8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $8 \cos (x) + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [8 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \cos (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{8 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Этап 3.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{8 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Этап 3.3.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x) + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Этап 3.4

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Этап 3.5

Добавим $- 8 \sin (x)$ и $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Этап 3.6

Перепишем ${(x - π)}^{2}$ в виде $(x - π) (x - π)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}$

Этап 3.7

Развернем $(x - π) (x - π)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}$

Этап 3.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}$

Этап 3.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}$

Этап 3.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- π (- π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}$

Этап 3.8.1.2.2

Умножим $π$ на $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}$

Этап 3.8.1.2.3

Возведем $π$ в степень $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}$

Этап 3.8.1.2.4

Возведем $π$ в степень $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}$

Этап 3.8.1.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}$

Этап 3.8.1.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}$

Этап 3.8.2

Вычтем $π x$ из $x (- π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Перенесем $x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}$

Этап 3.8.2.2

Вычтем $π x$ из $- π x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}$

Этап 3.9

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Этап 3.11

Поскольку $- 2 π$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 π x$ по $x$ равна $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Этап 3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Этап 3.13

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Этап 3.14

Поскольку $π^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $π^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x - 2 π + 0}$

Этап 3.15

Добавим $2 x - 2 π$ и $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x - 2 π}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $- 8$ и $2 x - 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8 \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (- 4 \sin (x))}{2 x - 2 π}$

Этап 4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (- 4 \sin (x))}{2 (x) - 2 π}$

Этап 4.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 π$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (- 4 \sin (x))}{2 (x) + 2 (- π)}$

Этап 4.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- π)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (- 4 \sin (x))}{2 (x - π)}$

Этап 4.1.2.4

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to π} \frac{2 (- 4 \sin (x))}{2 (x - π)}$

Этап 4.1.2.5

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to π} \frac{- 4 \sin (x)}{x - π}$

Этап 4.2

Вынесем член $- 4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{x - π}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$- 4 \frac{lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 5.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$- 4 \frac{\sin (π)}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 5.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 4 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 5.1.2.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 4 \frac{0}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 5.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$- 4 \frac{0}{lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π}$

Этап 5.1.3.1.2

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$- 4 \frac{0}{lim_{x \to π} x - π}$

Этап 5.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$- 4 \frac{0}{π - π}$

Этап 5.1.3.3

Вычтем $π$ из $π$ .

$- 4 (\frac{0}{0})$

Этап 5.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- 4 (\frac{0}{0})$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- 4 (\frac{0}{0})$

Этап 5.2

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{x - π} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Этап 5.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Этап 5.3.3

По правилу суммы производная $x - π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Этап 5.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Этап 5.3.5

Поскольку $- π$ является константой относительно $x$ , производная $- π$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{1 + 0}$

Этап 5.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{1}$

Этап 5.4

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$- 4 lim_{x \to π} \cos (x)$

Этап 6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$- 4 \cos (lim_{x \to π} x)$

Этап 7

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$- 4 \cos (π)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

$- 4 (- \cos (0))$

Этап 8.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Этап 8.3

Умножим $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Этап 8.3.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$4$