Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} + x - 7$ ; $[0, 14]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 14]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\int_{0}^{14} x^{2} + x - 7 d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\int_{0}^{14} x^{2} d x + \int_{0}^{14} x d x + \int_{0}^{14} - 7 d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{14} + \int_{0}^{14} x d x + \int_{0}^{14} - 7 d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{14} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{14} + \int_{0}^{14} - 7 d x)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{14} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{14} + - 7 x]_{0}^{14})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{14}$ и $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{14}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{14} + - 7 x]_{0}^{14})$

Этап 9.1.2

Объединим $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{14}$ и $- 7 x]_{0}^{14}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 7 x]_{0}^{14})$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 7 x$ в $14$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 14^{3} + \frac{1}{2} \cdot 14^{2} - 7 \cdot 14) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Возведем $14$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 2744 + \frac{1}{2} \cdot 14^{2} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2744$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{1}{2} \cdot 14^{2} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.3

Возведем $14$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{1}{2} \cdot 196 - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $196$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{196}{2} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.5

Сократим общий множитель $196$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $196$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{2 \cdot 98}{2} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{2 \cdot 98}{2 (1)} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{2 \cdot 98}{2 \cdot 1} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{98}{1} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.5.2.4

Разделим $98$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + 98 - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.6

Чтобы записать $98$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + 98 \cdot \frac{3}{3} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.7

Объединим $98$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{98 \cdot 3}{3} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744 + 98 \cdot 3}{3} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.9.1

Умножим $98$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744 + 294}{3} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.9.2

Добавим $2744$ и $294$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038}{3} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.10

Умножим $- 7$ на $14$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038}{3} - 98 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.11

Чтобы записать $- 98$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038}{3} - 98 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.12

Объединим $- 98$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038}{3} + \frac{- 98 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038 - 98 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.14.1

Умножим $- 98$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038 - 294}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.14.2

Вычтем $294$ из $3038$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.15

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.16

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.17

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.18

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (0 + 0 - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.19

Добавим $0$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (0 - 7 \cdot 0))$

Этап 9.2.2.20

Умножим $- 7$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (0 + 0))$

Этап 9.2.2.21

Добавим $0$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - 0)$

Этап 9.2.2.22

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + 0)$

Этап 9.2.2.23

Добавим $\frac{2744}{3}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3})$

Этап 10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 + 0} \cdot \frac{2744}{3}$

Этап 10.2

Добавим $14$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{2744}{3}$

Этап 11

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $14$ из $2744$ .

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{14 (196)}{3}$

Этап 11.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{14 \cdot 196}{3}$

Этап 11.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{196}{3}$

Этап 12