Математический анализ Примеры

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[3]{y^{2}}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{y^{2}} = x$ .

$\sqrt[3]{y^{2}} = x$

Этап 2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{y^{2}}}^{3} = x^{3}$

Этап 2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y^{2}}$ в виде $y^{\frac{2}{3}}$ .

${(y^{\frac{2}{3}})}^{3} = x^{3}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{2}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = x^{3}$

Этап 2.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{x^{3}}$

Этап 2.4.2

Упростим $\pm \sqrt{x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем $x^{2}$ за скобки.

$y = \pm \sqrt{x^{2} x}$

Этап 2.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm x \sqrt{x}$

Этап 2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = x \sqrt{x}$

Этап 2.4.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - x \sqrt{x}$

Этап 2.4.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = x \sqrt{x}$

$y = - x \sqrt{x}$

$y = x \sqrt{x}$

$y = - x \sqrt{x}$

$y = x \sqrt{x}$

$y = - x \sqrt{x}$

$y = x \sqrt{x}$

$y = - x \sqrt{x}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ обратной к $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ и $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $x \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 4.3.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ , представляет область определения $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ , то $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ — обратная к $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$

Этап 5