Математический анализ Примеры

$y = x^{2}$ ; $[3, 5]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} = 0$

Этап 1.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 1.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{3}^{5} x^{2} d x - \int_{3}^{5} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $3$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{3}^{5} x^{2} - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $x^{2}$ .

$\int_{3}^{5} x^{2} d x$

Этап 3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{5}$

Этап 3.4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $5$ и в $3$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 3^{3}$

Этап 3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 3^{3}$

Этап 3.4.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $125$ .

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3}$

Этап 3.4.2.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 27$

Этап 3.4.2.4

Умножим $27$ на $- 1$ .

$\frac{125}{3} - 27 (\frac{1}{3})$

Этап 3.4.2.5

Объединим $- 27$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{125}{3} + \frac{- 27}{3}$

Этап 3.4.2.6

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$\frac{125}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3}$

Этап 3.4.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{125}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}$

Этап 3.4.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{125}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{125}{3} + \frac{- 9}{1}$

Этап 3.4.2.6.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$\frac{125}{3} - 9$

Этап 3.4.2.7

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{125}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.4.2.8

Объединим $- 9$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{125}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3}$

Этап 3.4.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{125 - 9 \cdot 3}{3}$

Этап 3.4.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.10.1

Умножим $- 9$ на $3$ .

$\frac{125 - 27}{3}$

Этап 3.4.2.10.2

Вычтем $27$ из $125$ .

$\frac{98}{3}$

Этап 4