Математический анализ Примеры

$f (x, y) = x^{3} + y^{3} - 9 x y$

Этап 1

Запишем $f (x, y) - x^{3} - y^{3} + 9 x y = 0$ в виде функции.

$f (x) = f (x, y) - x^{3} - y^{3} + 9 x y$

Этап 2

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$f (x, y) - x^{3} = y^{3} - 9 x y$

Этап 2.2

Вычтем $y^{3}$ из обеих частей уравнения.

$f (x, y) - x^{3} - y^{3} = - 9 x y$

Этап 2.3

Добавим $9 x y$ к обеим частям уравнения.

$f (x, y) - x^{3} - y^{3} + 9 x y = 0$

Этап 3

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $f (x, y) - x^{3} - y^{3} + 9 x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x y]$

Этап 3.2

Умножим $f$ на каждый элемент матрицы.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x y]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x y]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x y]$

Этап 3.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x y]$

Этап 3.4

Поскольку $- y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [9 x y]$

Этап 3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $9 y$ является константой относительно $x$ , производная $9 x y$ по $x$ равна $9 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 0 + 9 y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 0 + 9 y \cdot 1$

Этап 3.5.3

Умножим $9$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 0 + 9 y$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 9 y$

Этап 3.6.2

Изменим порядок членов.

$- 3 x^{2} + 9 y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)]$

Этап 4

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + 9 y + \frac{d}{d x} ((f x, f y))$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9 y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (9 y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Этап 4.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (9 y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Этап 4.3

Поскольку $9 y$ является константой относительно $x$ , производная $9 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Этап 4.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y))$

Этап 4.4.1.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y))$

Этап 4.4.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на каждый элемент матрицы.

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y)))$

Этап 4.4.3

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $f x$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y)))$

Этап 4.4.3.1.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y)))$

Этап 4.4.3.1.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y)))$

Этап 4.4.3.2

Умножим $\frac{1}{x} (f y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.2.1

Объединим $f$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y))$

Этап 4.4.3.2.2

Объединим $\frac{f}{x}$ и $y$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Этап 4.5

Добавим $- 6 x$ и $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Этап 5

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 3 x^{2} + 9 y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) = 0$

Этап 6

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x y]$

Этап 6.1.2

Умножим $f$ на каждый элемент матрицы.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x y]$

Этап 6.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x y]$

Этап 6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x y]$

Этап 6.1.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x y]$

Этап 6.1.4

Поскольку $- y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [9 x y]$

Этап 6.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Поскольку $9 y$ является константой относительно $x$ , производная $9 x y$ по $x$ равна $9 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 0 + 9 y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 0 + 9 y \cdot 1$

Этап 6.1.5.3

Умножим $9$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 0 + 9 y$

Этап 6.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Добавим $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 9 y$

Этап 6.1.6.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)]$

Этап 6.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 9 y + \frac{d}{d x} ((f x, f y))$ .

$- 3 x^{2} + 9 y + \frac{d}{d x} ((f x, f y))$

Этап 7

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 9 y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) = 0$

Этап 8

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{d}{d x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$d x = 0$

Этап 8.2

Разделим каждый член $d x = 0$ на $d$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $d x = 0$ на $d$ .

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{d}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Разделим $0$ на $d$ .

$x = 0$

Этап 9

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 \cdot 0 + \frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $d$ на $0$ .

$- 6 \cdot 0 + \frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Этап 11.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 12

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 13