Математический анализ Примеры

$y = x^{\ln (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\ln (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $x^{\ln (x)}$ в виде $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Этап 3.1.2

Развернем $\ln (x^{\ln (x)})$ , вынося $\ln (x)$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Этап 3.2

Возведем $\ln (x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Этап 3.3

Возведем $\ln (x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln^{2} (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Этап 3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 3.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 3.8

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{1}{x})$

Этап 3.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{2}{x} \ln (x))$

Этап 3.9.2

Объединим $\frac{2}{x}$ и $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{2 \ln (x)}{x}$

Этап 3.9.3

Объединим $e^{\ln^{2} (x)}$ и $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x))}{x}$

Этап 3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

Этап 3.10.2

Умножим $2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Изменим порядок $\ln (x)$ и $2$ .

$\frac{2 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Этап 3.10.2.2

Упростим $2 \cdot \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Этап 3.10.3

Изменим порядок множителей в $\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$